3 Математичні моделі

3.1 Загальна характеристика математичної моделі

У загальному випадку під математичною моделлю об'єкту (системи) розуміється будь-який математичний опис, який відображає з необхідною точністю поведінку реального об'єкту (системи) в реальних умовах. Математична модель відображає записану на мові математики сукупність знань, уявлень і гіпотез дослідника про модельований об'єкт. Оскільки ці знання ніколи не бувають абсалютными, то модель лише приблизно враховує поведінку реального об'єкту.

Математичне моделювання - це засіб вивчення реального об'єкту, процесу або системи шляхом їх заміни математичною моделлю, зручнішою для експериментального дослідження за допомогою ЕОМ.

Математична модель є наближеним представленням реальних об'єктів, процесів або систем, вираженим в математичних термінах і таким, що зберігає істотні риси оригіналу. Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкту, процесу або системи, його параметри, внутрішні і зовнішні зв'язки.

У загальному випадку математична модель реального об'єкту, процесу або системи представляється у вигляді системи функціоналів

Ф_i (X,Y,Z,N,A,t)=0,

де X - вектор вхідних змінних, X=[x₁,x₂,x₃, ... , x_N, t],

Y - вектор вихідних змінних, Y=[y₁,y₂,y₃, ... , y_N, t],

Z - вектор стану, Z=[z₁,z₂,z₃, ... , z_N, t],

N - вектор зовнішніх дій, N=[n₁,n₂,n₃, ... , n_N, t],

A – вектор внутрішніх параметрів, А=[a₁ , a₂ , a₃, …, a_P ],

t - координата часу.

Приклад: Візьмемо деяку просту систему регулювання, структурна схема якої представлена на рис.3.1.

Математичною моделлю системи є диференціальне рівняння:

k₁k₂(x-y) або +k₁k₂y= k₁k₂x

х

Σ

k₁

y

Рис. 3.1 Система регулювання

Характеристики системи: ; Z(t) = [ z₁(t), z₂(t)]; z₁(t) = y(t); z₂ (t)= ; N(t ) = 0; A=[k₁, k₂ ].

Функціонування системи полягає в зміні характеристик стану в часі. В деяких випадках характеристики стану можуть визначатися у вигляді явних функцій від параметрів системи, вхідних сигналів, початкових умов і часу. У інших випадках модель є системою рівнянь щодо характеристик станів системи і початкових сигналів. При цьому параметри входять в коефіцієнти рівнянь, а вхідні сигнали – в їх праві частини.

Побудова математичної моделі полягає у визначенні зв'язків між тими або іншими процесами і явищами, створенні математичного апарату, що дозволяє виразити кількісно і якісно зв'язок між тими або іншими процесами і явищами, між фізичними величинами, що цікавлять фахівця, і чинниками, що впливають на кінцевий результат. Зазвичай їх виявляється настільки багато, що ввести в модель всю їх сукупність не вдається. При побудові математичної моделі перед дослідженням виникає завдання виявити і виключити з розгляду чинники, що неістотно впливають на кінцевий результат ( математична модель зазвичай включає значно менше число чинників, чим в реальній дійсності). На основі даних експерименту висуваються гіпотези про зв'язок між величинами, що виражають кінцевий результат, і чинниками, введеними в математичну модель. Такий зв'язок часто виражається системами диференціальних рівнянь в приватних похідних (наприклад, в задачах механіки твердого тіла, рідини і газу, теорії фільтрації, теплопровідності, теорії електростатичного і електродинамічного полів).

Форма і принципи представлення математичної моделі залежить від багатьох чинників.

Математичне моделювання, окрім дослідження об'єкту, процесу або системи і складання їх математичного опису, також включає:

• побудова алгоритму, що моделює поведінку об'єкту, процесу або системи;

• перевірка адекватності моделі і об'єкту, процесу або системи на основі обчислювального і натурного експерименту;

• корегування моделі;

• використання моделі.

Побудова математичної моделі зазвичай починається з побудови і аналізу простої, найбільш грубої математичної моделі даного об'єкту, процесу або системи. Надалі, у разі потреби, модель уточнюється, виконується її відповідність об'єкту повнішою.

Візьмемо простій приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину і ширину, а потім перемножують отримані числа. Така елементарна процедура фактично позначає наступне: реальний об'єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю – прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини і ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника приблизно береться за шукану площу столу.

Проте модель прямокутника для письмового столу – це проста, найбільш груба модель. При серйознішому підході до завдання перш, ніж скористатися для визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити таким чином: зміряти довжини протилежних сторін столу, а також довжини його діагоналей і порівняти їх між собою. Якщо, з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхню столу дійсно можна розглядати як прямокутник. Інакше модель прямокутника доведеться відкинути і замінити моделлю чотирикутника загального вигляду. При вищій вимозі до точності може виникнути необхідність піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.

Найпростіше будується модель, коли добре відомі закони, що визначають поведінку і властивості об'єкту, процесу або системи, і є великий практичний досвід їх застосування. Складніша ситуація виникає тоді, коли наші знання про об'єкт, що вивчається, процес або систему недостатні. В цьому випадку при побудові математичної моделі доводиться робити додаткові припущення, які носять характер гіпотез, така модель називається гіпотетичною. Виводи, отримані в результаті дослідження такої гіпотетичної моделі, носять умовний характер. Для перевірки виводів необхідно зіставити результати дослідження моделі на ЕОМ з результатами натурного експерименту. Таким чином, питання застосовності деякої математичної моделі до вивчення даного об'єкту, процесу або системи не є математичним питанням і не може бути вирішений математичними методами.

Основним критерієм істинності є експеримент, практика в найширшому сенсі цього слова.

Побудова математичної моделі в прикладних завданнях – один з найбільш складних і відповідальних етапів роботи. Досвід показує, що у багатьох випадках правильно вибрати модель – означає вирішити проблему більш, ніж наполовину. Трудність даного етапу полягає в тому, що він вимагає з'єднання математичних і спеціальних знань. Тому дуже важливо, щоб при вирішенні прикладних завдань математики володіли спеціальними знаннями про об'єкт, а їх партнери, фахівці, – певною математичною культурою, досвідом дослідження в своїй області, знанням ЕОМ і програмування.