13, 15 Момент инерции твердого тела.13.Теорема штейнера

Найдем сначала выражение для момента импульса твердого тела относительно оси вращения 00¹,

где и – масса и расстояние от оси вращения частицы твердого тела;

– ее угловая скорость.Обозначив величину, стоящую в круглых скобках через I получим:

где I – так называемый момент инерции твердого тела относительно оси 00¹:

Момент инерции твердого тела зависит от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной.

Вычисление момента инерции тела проводится по формуле:

где dm и dv – масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии R от интересующей нас оси z, – плотность тела в данной точке В некоторых случаях нахождения момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси z, параллельной и проходящей через центр инерции С тела, плюс произведение массы тела m на квадрат расстояния a между осями . Таким образом, если известен момент инерции I_с, например для стержня, то I относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, равен

.

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр инерции тела, приводятся в специальных таблицах. Расчетом их займетесь на занятиях по решению задач. Для описания вращательного движения тела существенно значение его момента инерции. По определению момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частиц:

где m_i- масса i-й частицы тела, r_i - ее расстояние от заданного центра или оси. Для описания вращательного движения тела существенно значение его момента инерции. По определению момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частиц:

где m_i- масса i-й частицы тела, r_i - ее расстояние от заданного центра или оси.

Предположим, что масса выделенной частицы тела mi, расстояние от нее до начала координат (т. о) r_i, а координаты, соответственно, x_i,y_i,z_i (рис. 58).

Момент инерции относительно т. О по определению равен

(рис. 58)

а относительно координатных осей:

Сравнивая, получим связь момен­та инерции тела относительно начала координат с моментами инерции относительно координатных осей:

Если одним из размеров тела можно пренебречь по сравнению с двумя другими (плоское тело), эта связь запишется в виде

Теорема Штейнера гласит, что момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящий через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Момент инерции. Из определения следует что, момент инерции – величина аддитивная. Момент инерции существует без относительного вращения тела. Поэтому любое покоящееся тело обладает определенным моементом инерции относительно выбранной оси, подобно как покоящееся тело обладает массой. Распределение массы в пределах вещества, можно охарактеризовать с помощью плотности вещества. При описании распределения масс с помощью плотности вещества, момент инерции будет: . Вычисление момента инерции с помощью записанной ф-лы существенно упрощается, когда рассматриваемая ось является осью симметрии. В ином случае используют Т. Штейна. Т: Момент инерции I относительно проивзольной оси равен моменту инерции , относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела суммированного с проивзедением массы тела на квадрат расстояния между этими осями.