25 Поток вектора напряженности электростатического поля. Теорема Гаусса. Интегральная и дифференциальная формы
Электростатическое
поле, как нам известно, описывается
векторной функцией
.
Зная напряженность, можно найти:
1)силу, действующую на заряд в любой точке поля;
2)вычислить работу сил поля по перемещению заряда.
Скалярная характеристика поля позволяет найти:
1)работу сил поля по перемещению заряда из одной точки поля в другую;
2)напряженность
поля
.
Найдем связь между этими характеристиками поля.
На
бесконечно малом перемещении между
точками, разность потенциалов между
которыми равна dφ,
элементарная
работа равна
.
С
другой стороны работа, совершаемая
силой, действующей на заряд в
электростатическом поле, определяется
выражением
.
Приравнивая
эти выражения, получим
,
откуда
,
(13.22)
где Еr – проекция вектора напряженности на .
Так как является функцией трех координат x, y, z, то найдем проекции вектора на соответствующие оси:
;
;
,
(13.23) т.е., проекция вектора
на соответствующие оси равна первой
производной по координате от потенциала,
взятой со знаком "минус".
А
так как
,
то
(13.24)
Изменение потенциала на единицу длины называется градиентом потенциала. Градиент – величина векторная, направленная в сторону возрастания физической величины.
.
(13.25)
Символ
частной производной
подчеркивает, что функцию φ
(x,
y,
z)
необходимо дифференцировать по одной
переменной координате, а две другие при
этом считать постоянными.
На основании выражения (13.24) можно кратко записать
(13.25
Напряженность
поля равна градиенту потенциала, взятому
со знаком «минус». Это значит, что
направления
и
φ
–
противоположны
(рис. 13.7).
Выражение
(13.25) позволяет по известным значениям
найти величину
(
)
и по заданным значениям
в каждой точке найти разность потенциалов
между двумя произвольными точками.
Поверхность,
все точки которой имеют одинаковый
потенциал, называется эквипотенциальной
поверхностью.
Ее уравнение имеет вид:
При перемещении вдоль эквипотенциальной поверхности на отрезок dl потенциал не изменяется (dφ=0), а работа по перемещению заряда q' вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю (А=0) – это значит, что вектор направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку (рис. 13.7 эквипотенциальные поверхности изображены пунктирными линиями).
Имеем точечный заряд qi, окруженный замкнутой поверхностью S рис. (14.5). Определим поток, пронизывающий замкнутую поверхность.
Рис. 14.5 |
Поток,
пронизывающий элементарную площадку
d |
|
|
,
равен dФi
= (
) = EdScosα
= EdS┴,
где
dS┴
=
dScosα
(т.е. площадка установленная
перпендикулярно силовой линии
напряжённости поля
).
,
а
,
тогда
,
где dΩ – центральный угол, который опирается на площадку dS┴.
Полный поток, пронизывающий замкнутую поверхность равен
,
но
.
Следовательно, поток вектора через замкнутую поверхность равен
,
откуда получаем,
т.е. доказали, что поток вектора через замкнутую поверхность равен заряду qi, который охватывается этой поверхностью, деленному на электрическую постоянную
(
=8,85*10-12Ф/м).
Если поле создается несколькими точечными зарядами, то согласно принципу суперпозиции, = 1+ 2+…+ n; и полный поток представляет собой сумму потоков, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
Окончательно получаем
Закон пропорциональности потока вектора через замкнутую поверхность заряду в объёме, ограниченном этой поверхностью, называется теоремой Гаусса.
Формулировка теоремы:
поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью, деленной на электрическую постоянную .
Все формулы (14.4), (14.5) подтверждают ещё раз, что источником электростатического поля является электрические заряды. Следует обратить внимание на следующие обстоятельства: в то время как напряжённость поля зависит от конфигурации всех зарядов, поток всех сквозь произвольную замкнутую поверхность определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S. Это значит, что если переместить заряды внутри этой поверхности, то напряжённость поля всюду изменится, а поток вектора через эту поверхность остается прежней.
Суммарный заряд, охватываемый замкнутой поверхностью можно определить следующим образом:
а)
если известна объёмная плотность заряда
,
то
б)
если известна поверхностная плотность
заряда
то
в)
если известна линейная плотность заряда
то
