30 Вектор d . Теорема Гаусса для вектора d

Рассмотрим две среды с различными диэлектрическими проницаемостями и и запишем значения и :

, .

Из полученных выражений следует, что электрическое смещение не зависит от свойств среды, т.е. от диэлектрической проницаемости .

А так как , где – поверхностная плотность свободных зарядов, то получим, что электрическое смещение D будет численно равно поверхностной плотности свободных зарядов: (18.10)

Найдем связь между поверхностной плотностью свободных и связанных зарядов. Воспользуемся выражениями (18.1) и (18.3) и учтем, что ; ; , получим:

, , , (18.11)

т.е. . Но если , то получим .

Рассмотрим поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность:

. (18.12)

В соответствии с теоремой Гаусса для вектора напряженности поля в вакууме можно записать:

.

В диэлектрике под зарядом следует понимать сумму свободных (сторонних) и связанных зарядов, возникающих при поляризации диэлектриков. Тогда можно записать следующее выражение:

или

. (18.13)

Учитывая, что , то выражение (18.13) можно записать в виде:

,

но . Следовательно, или

(18.14)

Теорема Гаусса для вектора в интегральной форме: поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных (сторонних) зарядов, заключенных внутри этой поверхности.

В соответствии с формулой (18.14) единицей потока вектора является кулон (Кл). Заряд в 1 Кл создает через охватывающую его поверхность поток электрического смещения в 1 Кл. Это означает, что на заряде q начинается (если q > 0) либо заканчивается (если q < 0) количество линий вектора электрического смещения , численно равное .

Поле вектора , как и всякое векторное поле можно изобразить с помощью линий электрического смещения. В отличие от линий вектора , которые могут начинаться и оканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах, линии вектора могут начинаться и оканчиваться только на сторонних зарядах. Через точки, в которых помещаются связанные заряды, линии смещения, проходят, не прерываясь.

31 Энергия электрического поля в конденстаторе.

Процесс зарядки конденсатора можно представить следующим образом: сначала пластины конденсатора с положительным зарядом на одной и отрицательным на другой находятся на бесконечно малом расстоянии друг от друга; затем разводим их на расстояние d друг от друга. Вычислим работу, которую необходимо будет на это затратить.

На заряды, находящиеся на правой пластине, действует поле, образованное только зарядами, расположенными на левой пластине, напряженность которого (рис. 19.2.).

Сила, действующая на единицу площади правой пластины, на которой находится единица количества электричества , равна

.

Так как направления сил, действующих на единицу площади правой пластины одинаковы независимо от того, где расположена эта единичная площадка, то сила, с которой притягивается к левой пластине вся правая, будет в S раз больше, т.е.

. (19.6)

Такую же силу мы должны приложить к правой пластине, чтобы отодвинуть ее от левой. Значение этой силы не будет изменяться при отодвигании правой пластины от левой, так как напряженность заряженной левой плоскости не зависит от расстояния до нее.

Следовательно, работа, затраченная на удаление правой пластины на расстояние d от левой, будет равна

.

Единственным результатом затраченной нами работы, единственным изменением в окружающем пространстве, произошедшем в связи с этим процессом, будет образование электрического поля между пластинами конденсатора (вне конденсатора поля нет). Следовательно, можно утверждать, что затраченная работа перешла в энергию поля конденсатора, которая и будет ей равна

. (19.7)

Учитывая, что напряженность поля между пластинами конденсатора равна , то получим , и выражение энергии поля конденсатора через напряженность будет иметь вид:

, . (19.8)

Так как поле сосредоточено между пластинами конденсатора и оно однородно, то Sd – есть объем поля и

– (19.9)

есть энергия единицы объема поля или так называемая объемная плотность энергии поля. Итак,

. (19.10)

Заменяя на D, получим

. (19.11)

Если поле неоднородно, то для расчета его энергии нужно будет разбить его на элементарные объемы dV настолько малые, чтобы в этих объемах поле можно считать однородным, тогда энергия малого объема

.

Всю энергию поля подсчитаем, проинтегрировав это выражение

. (19.12)