7 Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в поле. Связь между потенциальной энергией и силой поля

Консервативные и неконсервативные силы. Силы, работа которых не зависит от формы перехода системы из начального положения в конечное, а определяется только начальной и конечной конфигурацией системы взаимодействующих тел, называются консервативными (потенциальными). Очевидно, что работа консервативных сил по замкнутой траектории равняется нулю.

Действительно, при перемещении тела из начального положения в конечное величина работы одинакова вне зависимости от формы траектории A132 = A142. При обратном движении она меняет знак на противоположный:

A241 = - A142 (см. рис. 8.6). Следовательно, работа по замкнутому контуру равняется нулю A132 + A241 = 0.

Все силы, которые описанным выше свойством не обладают (их работа по замкнутому контуру не равняется нулю), называются неконсервативными. Неконсервативными являются силы трения, сопротивления, т.к. для них на любом участке траектории вектор силы направлен против вектора скорости, который в свою очередь параллелен элементарному перемещению и, следовательно, на каждом участке траектории и на всем перемещении работа отрицательна.

Силы, работа которых на любом участке движения отрицательны, называются диссипативными. понятие потенциальной энергии обладает одним общим свойством Eп- это функция конфигурации системы (взаимного расположения тел).

Потенциальная энергия - некоторая функция, зависящая от взаимного расположения тел входящих в систему, изменение которой, взятое с обратным знаком, равно работе внутренних консервативных сил, совершаемой при переходе системы из одного состояния в другое A = - DEп.

Конкретный вид зависимости Eп от конфигурации системы определяется характером взаимодействия.

Связь силы и потенциальной энергии. Про тела, которые могут совершить работу, говорят, что они обладают энергией. Энергия - физическая величина, показывающая, какую работу может совершить тело. В свою очередь механическая работа - форма изменения энергии.

Энергия - единая мера разных форм движения и взаимодействия материи.

Механическая энергия подразделяется на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия - мера механического движения, потенциальная - мера взаимодействия тел в системе, определяемая ее конфигурацией. Причем, изменения кинетической энергии равно работе всех сил, действующих на тела системы, а потенциальной - работе внутренних консервативных сил, взятой с обратным знаком..

Рассмотрим одномерное движение частицы под действием силы Fx. Исходя из определений работы и потенциальной энергии, имеем:

A = Fxdx = - dEп.

Следовательно, Fx = - dEп/dx. В случае трехмерного движения каждая составляющая проекции вектора силы зависит от скорости изменения потенциальной энергии в пространстве аналогичным образом. Тогда вектор силы равен градиенту Eп:

F = - (E'x·i + E'y·j + E'z·z) = - grad(Eп).

Вектор градиента направлен в сторону наиболее быстрого изменения функции.

8 Работа. Кинетическая энергия частицы

Работа переменной силы.Пусть частица под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1 – 2 (рис. 6.1)

В общем случае сила в процессе движения частицы может меняться как по модулю, так и понаправлению. Рассмотрим элементарное перемещение , в пределах которого силу можно считать постоянной.Действие силы на перемещение характеризуют величиной, равной скалярному произведению ( × ),

которую называют элементарной работой силы на перемещение . Её можно представить и в другом виде , где  – угол между векторами и , dS =  | – элементарный путь, F_s – проекция вектора на вектор .

Итак, элементарная работа силы на перемещение

Величина A – алгебраическая: в зависимости от угла между векторами и (или от знака проекции F_S вектора на вектор ) она может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной нулю (если  , т.е. F_S = 0). Суммируя, интегрируя выражение (6.1) по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2, найдем работу силы на данном пути:

Внесистемная единица работы 1кГм= 9,8 Дж.

Кинетическая энергия

Пусть частица m движется под действием некоторой силы (в общем случае сила может быть результирующей нескольких сил). Найдем работу, которую совершает эта сила на элементарном перемещении .Имея в виду, что и , запишем

Скалярное произведение , где – проекция вектора на направление вектора . Эта проекция равна dv – приращению модуля вектора скорости, поэтому

Отсюда видно, что работа результирующей силы идет на приращение некоторой величины (стоящей в скобках), которую называют кинетической энергией, таким образом, приращение кинетической энергии частицы при элементарном перемещении равно , а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2

, т.е. приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на том же перемещении.

Если A₁₂>0, то W_k2>W_k1, т.е. кинетическая энергия частицы увеличивается если же A₁₂<0, то кинетическая энергия уменьшается.

Уравнение (6.12) можно представить в другой форме, поделив обе части на соответствующий промежуток времени dt:

Это значит, что производная кинетической энергии частицы по времени равна мощности N результирующей силы, действующей на частицу.