26 Циркуляция вектора е. Потенциал

Теорема Гаусса подтверждает, что источником электростатического поля является электрические заряды.

Выясним является ли это поле потенциальным или вихревым? Для этого рассмотрим циркуляцию вектора напряженности по замкнутому контуру –?

Работа по перемещению заряда q’ в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 равна

.

Если переносится заряд по замкнутому контуру, т.е. точка 2 совпадает с точкой 1, то работа будет равна:

.

(14.10)

Круговой интеграл называется циркуляцией вектора . Физический смысл циркуляции следующий: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля в вакууме численно равна работе по перемещению единичного заряда по замкнутому контуру.

Рассмотрим циркуляцию вектора напряженности электростатического поля в вакууме. Для этого выберем замкнутый контур обхода abcd (рис. 14.10), указав направление обхода.

.

Итак, получили, что для электростатического поля в вакууме – теорема о циркуляции вектора напряженности для электростатического поля, т.е. циркуляция вектора напряженности электростатического поля в вакууме равна нулю.

Такой же результат можно получить, используя формулу (13.6) в лекционном материале при условии, что r₁ = r₂

Если циркуляция вектора напряженности поля равна нулю, то такое поле называется потенциальным (электростатическое поле, гравитационное поле взаимодействия тел).

Таким образом, выражение является условием потенциальности поля.

Если , то поле вихревое т.е. непотенциальное поле (электромагнитное поле).

27 Связь между напряженностью поля и потенциалом. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии.

Электростатическое поле, как нам известно, описывается векторной функцией . Зная напряженность, можно найти:

1)силу, действующую на заряд в любой точке поля;

2)вычислить работу сил поля по перемещению заряда.

Скалярная характеристика поля позволяет найти:

1)работу сил поля по перемещению заряда из одной точки поля в другую;

2)напряженность поля .

Найдем связь между этими характеристиками поля.

На бесконечно малом перемещении между точками, разность потенциалов между которыми равна dφ, элементарная работа равна .

С другой стороны работа, совершаемая силой, действующей на заряд в электростатическом поле, определяется выражением .

Приравнивая эти выражения, получим ,

откуда , (13.22)

где Е_r – проекция вектора напряженности на .

Так как является функцией трех координат x, y, z, то найдем проекции вектора на соответствующие оси:

; ; , (13.23) т.е., проекция вектора на соответствующие оси равна первой производной по координате от потенциала, взятой со знаком "минус".

А так как ,

то (13.24)

Изменение потенциала на единицу длины называется градиентом потенциала. Градиент – величина векторная, направленная в сторону возрастания физической величины.

. (13.25)

Символ частной производной подчеркивает, что функцию φ (x, y, z) необходимо дифференцировать по одной переменной координате, а две другие при этом считать постоянными.

На основании выражения (13.24) можно кратко записать

(13.25

Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком «минус». Это значит, что направления и φ – противоположны (рис. 13.7).

Выражение (13.25) позволяет по известным значениям найти величину ( ) и по заданным значениям в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками.

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Ее уравнение имеет вид:

При перемещении вдоль эквипотенциальной поверхности на отрезок dl потенциал не изменяется (dφ=0), а работа по перемещению заряда q' вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю (А=0) – это значит, что вектор направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку (рис. 13.7 эквипотенциальные поверхности изображены пунктирными линиями).