29. Теорема Гаусса для вектора р

Поток вектора Р сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S:

_{} ^{PdS  q'внутр.}

Формулу называют теоремой Гаусса для поля P , в интегральной форме записи.

Докажем ее.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность S, которая охватывает часть диэлектрика.

При включении внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется, положительные заряды сместятся относительно отрицательных. Найдем заряд, который пройдет через элемент ^{dS замкнутой поверхности S наружу. Обозначим через l}_^{и l}_ ^{- векторы смещения} положительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда через _{элемент поверхности dS наружу поверхности S выйдет положительный заряд dq} ^' _:

^{dq'   '} ^{l dS cos  }

^{dq'   '}_ ^{ldS cos ,}

_{P  } ^' _{ l} ,

dq ^'  PdS .

Проинтегрировав по всей поверхности, получим величину заряда, который вышел из поверхности: .

А внутри поверхности окажется избыточный связанный заряд  q ^' , противоположный по знаку с вышедшим.

Дивергенция поля вектора P равна взятой с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке.

32 Вектор d на границе раздела двух диэлектрических сред

Изучим поведение векторов напряженности Е и электрического смещения D электростатического поля на границе раздела двух однородных изотропных диэлектрических сред 1 и 2. Рассмотрим окрестность произвольной точки А, лежащей на поверхности раздела этих сред. Пусть ε и ε – диэлектрические проницаемости первой и второй сред. Будем использовать теорему о циркуляции вектора Е и теорему Гаусса для вектора D.

Проведем в точке А на границе раздела сред единичные векторы, направленные по касательной к поверхности раздела и по нормали к ней, направленной из первой среды во вторую.

Построим вблизи точки А замкнутый прямоугольный контур L, две стороны которого параллельны границе раздела сред и равны Δl, а две другие равны Δh. При любом значении Δh должна выполняться теорема о циркуляции Е :

Перейдем к пределу при Δh→0 :

В этом случае значения интеграла вдоль боковых сторон (Δh) прямоугольного контура L стремятся тоже к нулю. Верхняя и нижняя стороны контура неограниченно приближаются к поверхности раздела сред. Таким образом, первое граничное условие для напряженности поля , т.е. тангенциальная составляющая вектора E напряженности поля не изменяется при переходе из одной среды в другую через поверхность раздела.

Отсюда получаем первое граничное условие для электрического смещения :

, т.е. тангенциальная составляющая вектора D претерпевает на границе раздела диэлектриков разрыв. Определим вторую пару условий. Выберем вокруг точки А небольшой участок поверхности раздела сред площадью ΔS. Построим цилиндрическую замкнутую поверхность S, охватывающую этот участок границы раздела сред 1 и 2. Пусть образующие цилиндра длиной Δh параллельны вектору n нормали к поверхности раздела, а основания цилиндра перпендикулярны n.

В теореме Гаусса для вектора D: , где q – суммарный сторонний заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S, т.е. в объеме цилиндра. Перейдем к пределу при Δh→0 :

В общем случае при наличии поверхностных сторонних зарядов на границе раздела

где σ – поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Получаем граничное условие для вектора D в виде

.

Следовательно, второе граничное условие для вектора D записывается как

, т.е. при переходе через границу раздела двух сред, на которой нет поверхностных сторонних зарядов, нормальная составляющая вектора электрического смещения непрерывна.