36. Теорема о потоке вектора b.
Магнитным
потоком или (потоком вектора
магнитной индукции) сквозь
малую поверхность площадью dS
называется физическая величина:
(24.1)
где
;
– единичный вектор нормали к площадке
dS
(рис. 24.1);
– проекция вектора
на направление нормали. Малая площадка
dS
выбирается так, чтобы ее можно было
считать плоской, а магнитное поле в её
пределах – однородным.
есть число линий магнитной индукции,
проходящих через единицу поверхности.
Так как
– скаляр, то и магнитный поток есть
скалярная величина.
Если магнитное поле неоднородно, а рассматриваемая поверхность не плоская, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы dS. Каждый элемент поверхности можно рассматривать как плоскую площадку, а любое поле на протяжении этого элемента как однородное. Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S определяется по формуле:
(24.2)
П
ри
вычислении этого интеграла векторы
нормалей к площадкам dS
нужно
направлять в одну и ту же сторону по
отношению к поверхности S.
Например, если поверхность S
замкнутая, то векторы
должны быть либо все внешними нормалями,
либо все внутренними нормалями. Если
магнитное поле однородное, а поверхность
S
плоская, то проекцию вектора индукции
на нормаль (т.е. величину
)
можно вынести за знак интеграла, как
постоянную величину. Тогда полный
магнитный поток через эту поверхность
будет равен:
(24.3)
Магнитный поток S равен полному числу линий магнитной индукции, проходящих через данную поверхность.
В
природе отсутствуют «магнитные заряды»
(источники магнитного поля), аналогичные
электрическим зарядам, на которых
начинались бы или заканчивались линии
магнитной индукции, поэтому линии
индукции
магнитного поля не имеют ни начала, ни
конца, т.е. магнитные силовые линии
замкнуты (см. рис. 23.4). Следовательно,
поток
через любую замкнутую поверхность будет
всегда равен нулю ( поток равен числу
линий магнитной индукции, пронизывающих
замкнутую поверхность в направлении
внешней нормали):
Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора : поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Формула (24.5) является математическим выражением того, что в природе нет «магнитных зарядов» (магнитных масс).
37. Теорема о циркуляции вектора в
Теперь
обратимся к циркуляции вектора
.
По определению интеграл по замкнутому
контуру L
вида
называется циркуляцией
вектора индукции
магнитного поля. Проще
всего вычислить этот интеграл в случае
поля прямого тока. Пусть замкнутый
контур лежит в плоскости, перпендикулярной
к току (рис. 24.3, а), ток перпендикулярен
к плоскости чертежа и направлен за
чертеж) В каждой точке контура вектор
направлен по касательной к окружности,
проходящей через эту точку. Заменим в
выражении для циркуляции
через
(
– проекция элемента контура на направление
вектора
).
Из рисунка видно, что
равно b da,
где b
– расстояние от провода с током до dl,
da
– угол, на который поворачивается
радиальная прямая при перемещении вдоль
контура на отрезок
.
Таким образом, подставив выражение (23.12) для В, получим:
.
(24.6)
С учетом равенства (3.6) имеем:
.
(24.7)
При
обходе по контуру, охватывающему ток,
радиальная прямая все время поворачивается
в одном направлении, поэтому
.
Иначе обстоит дело, если ток не охватывается
контуром (рис. 24.3, б). В этом случае при
обходе по контуру радиальная прямая
поворачивается сначала в одном направлении
(участок 1-2), а затем в противоположном
(участок 2-1), вследствие чего
равен нулю. Учтя этот результат, можно
написать:
,
(24.8)
где под I следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора равна нулю.
Из (24.8) можно сделать следующие выводы:
1) магнитное поле прямолинейного тока – вихревое, так как в нем циркуляция вектора вдоль линии магнитной индукции не равна нулю;
2)
циркуляция вектора
поля прямолинейного тока в вакууме
одинакова вдоль всех линий магнитной
индукции и равна произведению магнитной
постоянной
на величину силы тока.
Знак выражения (24.8) зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол ). Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина (24.8) положительна, в противном случае – отрицательна. Знак можно учесть, полагая I алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным
С
помощью соотношения (24.8) легко восстановить
в памяти формулу (23.12) для В поля прямого
тока. Представим себе плоский контур в
виде окружности радиуса b
(рис. 24.4).
В каждой точке этого контура вектор одинаков по величине и направлен по касательной к окружности.
Следовательно,
циркуляция равна произведению В
на длину окружности 2
,
и соотношение (24.8) имеет вид
.
Отсюда
(ср. с (23.12)).