12 Момент импульса и момент силы относительно точки и оси. Уравнение моментов

Векторное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям:

,которые получаются из векторного уравнения путем проектирования на неподвижные оси декартовой системы координат.

Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось Z. Пусть относительно некоторой точки О на оси Z момент импульса частицы А равен , а момент силы, действующей на частицу .

Моментом импульса относительно оси Z называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки «О» данной оси.

Аналогично вводят и понятие момента силы относительно оси. не зависят от выбора точки О на оси Z.

Спроектировав векторное уравнение на ось-Z, получим, т.е.производная по времени от момента импульса частицы относительно оси Z равна моменту силы относительно этой оси В частности, если , то . Другими словами, если момент силы относительно некоторой неподвижной оси Z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным. При этом сам вектор может и меняться.

Выясним, какая механическая величина ответственна за изменение вектора в данной системе отсчета. Для этого продифференцируем по времени:

Так как точка О неподвижна, то вектор равен скорости частицы, т.е. совпадает по направлению с вектором , поэтому =0. Далее , где – результирующая всех сил, действующих на частицу. . Величину называют моментом силы относительно точки О. Обозначив ее , запишем формулу в виде: .Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиуса вектора на силу . .

Вектор , как и , является аксиальным. Модуль этого вектора

M = l F, где l – плечо вектора относительно точки О.

Рис. 5.2

Итак, производная по времени от момента импульса частицы относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета равна моменту равнодействующей силы относительно той же точки О.

Это уравнение называют уравнением моментов:

1)момент не изменяется, если точку приложения силы перенести в любую другую точку, расположенную по линии действия силы.

2)это значит, что момент равнодействующей двух или нескольких сил относительно некоторого начала равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно того же начала.

14 Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Моментом силы F относительно неподвиж­ной точки О называется физическая вели­чина, определяемая векторным произведе­нием радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

M = [rF].

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательно­го движения правого винта при его враще­нии от г к F.

Модуль момента силы

M = Frsin= Fl, (18.1)

где  — угол между г и F; rsin =l — кратчайшее расстояние между линией дей­ствия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно непод­вижной оси z называется скалярная вели­чина М_z, равная проекции на эту ось век­тор а М момента силы, определенного от­носительно произвольной точки О данной оси 2 (рис.26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представля-

ется в виде вектора, совпадающего с осью:

М_z = [rF]_z.

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.27). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r,  — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твер­дое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол d точка приложения В проходит путь ds= rd, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA=Fsinrd. (18.2) Учитывая (18.1), можем записать dA=M_zd,

где Frsin = Fl =M_z — момент силы от­носительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол пово­рота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dT, но

Учитывая, что =d/dt, получим

Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно непод­вижной оси.

Можно показать, что если ось враще­ния совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).