2.1.2Импульсная характеристика цепи

Импульсная характеристика цепи – это реакция цепи на входное воздействие в виде дельта-функции ( – функция). Пусть некоторая линейная стационарная система описывается оператором T. Тогда функция удовлетворяет уравнению:

(2.4)

Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещено во времени на произвольную величину t₀:

(2.5)

Следует ясно представить себе, что импульсная характеристика, так же как и порождающая ее дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом ее собственных колебаний.

Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему. Действительно, в теории сигналов было показано, что входной сигнал всегда допускает представление вида:

(2.5)

Отвечающая ему выходная реакция:

(2.6)

Линейный оператор Т на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла. Далее, оператор Т «действует» лишь на величины, зависящие от текущего времени , но не от переменной интегрирования . Поэтому:

(2.7)

или окончательно:

(2.8)

Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля. Соотношение (2.8) свидетельствует о том, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свертку двух функций — входного сигнала и импульсной характеристики системы. Очевидно, формула (2.8) может быть записана также в виде:

(2.9)

Каков бы ни был конкретный вид импульсной характеристики физически осуществимой системы, всегда должен выполняться важнейший принцип: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до момента появления импульса на входе. Следовательно, импульсная характеристика физически реализуемой цепи равна нулю при отрицательных значениях аргумента. Легко видеть, что для физически реализуемой системы верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменен на текущее значение времени:

(2.10)

Формула (2.10) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом» при . Роль весовой функции выполняет при этом импульсная характеристика системы. Принципиально важно, что физически реализуемая система ни при каких обстоятельствах ие способна оперировать «будущими» значениями входного сигнала.

Импульсная характеристика однозначно связана с частотным коэффициентом передачи цепи преобразованием Фурье, а с коэффициентом передачи цепи – преобразованием Лапласа:

,

(2.11)