3.7Алгебраический критерий устойчивости

Для цепи с сосредоточенными параметрами передаточные функции можно представить в виде отношения полиномов с вещественными коэффициентами:

,

,

Тогда характеристическое уравнение:

Многочлены с вещественными коэффициентами, все корни которых находятся в левой полуплоскости, называются многочленами Гурвица Н(р). Для определения местонахождения корней многочлена необязательно его решать, для этого достаточно проанализировать коэффициент уравнения.

Так согласно критерию Рауса – Гурвица, для того, чтобы уравнение с вещественными коэффициентами имело корни, лежащие в левой полуплоскости переменной р, необходимо и достаточно, чтобы положительными были следующие величины:

а) коэффициенты … ;

б) определитель Гурвица:

в) все главные миноры определителя Гурвица. Главный минор можно получить вычеркиванием строк и столбцов определителя с одинаковыми номерами (1 строку, 1 столбец или 1 и 3 строку и 1 и 3 столбец).

Алгебраические критерии используют для экономии времени, но они также требуют знания передаточных функций, как основного четырехполюсника так и четырехполюсника ОС.

3.8Частотный критерий устойчивости Найквиста

В характеристическом уравнении произведение является передаточной функцией разомкнутой системы, содержащей последовательно соединенный основной ЧП и ЧП обратной связи (Рисунок 3.8).

Рис. 3.8 Выходное напряжение при действительных корнях

Об устойчивости цепи после замыкания связи можно судить по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, которая называется годографом Найквиста.

Критерий устойчивости получил название критерий устойчивости Найквиста. Он формулируется так: если годограф передаточной функции разомкнутой системы не охватывает точку (1, j0), то после замыкания цепи ОС система остаётся устойчивой. В противном случае неустойчивой.

Годограф строится в комплексной плоскости (Рисунок 3.9). Длина вектора соединяющего любую точку годографа с началом координат равна модулю передаточной функции

Угол, образуемый вектором и действительной осью равен фазе передаточной функции

Рис. 3.9 Годограф Найквиста

При сложной форме годографа часто бывает трудно судить об охвате им точки (1, j0), в этом случае удобно использовать следующее правило: система с обратной связью устойчива, если годограф не пересекает действительную ось правее единицы; либо пересекает эту ось одинаковое число раз в положительных и отрицательных направлениях.

Для определения устойчивости годограф строить необязательно. Для этого достаточно проанализировать АЧХ и ФЧХ. Следовательно, третья альтернативная формулировка критерия Найквиста: если АЧХ больше единице на частотах, при которых ФЧХ равна 0 или где n € z, то система с обратной связью не устойчива, в противном случае устойчива (Рисунок 3.10).

Рис. 3.9 АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы с обратной связью