§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора

Понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводятся аналогично тому, как это было сделано для строк матрицы.

Определение. Линейной комбинацией векторов , ,..., с коэффициентами C₁,C₂,...,C_n называется вектор C₁ +C₂ +...+C_n .

Эта комбинация обладает двумя основными свойствами.

1. Если векторы , ,..., коллинеарны некоторой прямой, то любая их линейная комбинация будет коллинеарна той же прямой.

Векторы , ,..., называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

2. Если векторы , ,..., компланарны некоторой плоскости, то любая их линейная комбинация компланарна той же плоскости.

Определение. Векторы , ,..., называются линейно зависимыми, если существуют такие числа C₁,C₂,...,C_n , не все равные нулю, что C₁ +C₂ +...+C_n =0

В противном случае векторы , ,..., называются линейно независимыми.

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов называется базисом.

Множество всех плоских или пространственных векторов в которых определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, являются простейшими примерами векторного пространства.

Определение. Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше семи свойствам называется векторным пространством.

Оказывается, что в любом векторном пространстве всегда можно выбрать несколько векторов, из которых с помощью линейных комбинаций однозначно можно получить любой вектор этого пространства и которые являются базисными.

Определение. Любой ненулевой вектор на прямой называется

базисным вектором этой прямой. Любая пара неколлинеарных векторов плоскости называется базисом этой плоскости. Любая тройка некомпланарных векторов называется базисом пространства.

Теорема о базисе.Любой вектор (на прямой, плоскости или в пространстве) единственным образом записывается в виде линейной комбинации соответствующих базисных векторов. То есть,

1. на прямой:

2. на плоскости:

3. в пространстве:

Доказательство.

1. Случай прямой.

Пусть вектор лежит на прямой L, – базисный вектор этой прямой. Отложим вектора и из некоторой точки O на прямой, вектор возьмём в качестве масштабного единичного отрезка на L, в результате на L образуется координатная ось. Пусть конец вектора есть точка A, и x её координата на этой оси, тогда согласно определению произведения вектора на число имеем =x , т.е. =x .

L

2. Случай плоскости.

Пусть векторы , и лежат в плоскости .Отложим их из некоторой точки O этой плоскости, конец вектора обозначим через A.

Проведём через вектора и оси Ox и Oy с единичными отрезками

и , через точку A проведём прямые параллельные этим осям, их точки пересечения с OX и Oy обозначим через A₁ и A₂ соответственно.

П

Координату точки A₁ на Ox обозначим через x, а координату точки A₂ на Oy – через y. Тогда используя определение суммы векторов и предыдущий случай получим: = = + =x +y .

3) Случай пространства. Отложим вектора , , и из некоторой точки O, через вектора , , и проведём оси Ox, Oy, Oz. Из конца вектора , точки A проведём три плоскости, параллельные парам осей Ox, Oy; Oy, Oz и Ox, Oz. Их точки пересечения с осями Ox, Oy, Oz обозначим через A₁, A₂, A₃, а координаты этих точек на осях через x, y, z. В результате мы имеем. = = + + =x +y +z .

Проверим, что коэффициенты (x, y, z) линейной комбинации определяется однозначно. Допустим противное, пусть вектор можно записать двумя способами: = x₁ +y₁ +z₁ и = x₂ +y₂ +z₂ , где x₁ x₂ или y₁y₂ , или z₁z₂. Вычитая из первого равенства второе, получим = (x₁-x₂) + +(y₁-y₂) +(z₁-z₂) .

Здесь справа стоит вектор, выражающий диагональ параллелограмма или параллелепипеда, или отрезок на одной из осей Ox, Oy, Oz, который не является нулевым. Противоречие.

Из последнего рассуждения следует, что базисные вектора линейно независимы.

Определение. Коэффициенты линейной комбинации базисных векторов, выражающие вектор на прямой, в плоскости или в пространстве называются, координатами вектора в данном базисе.

Вектор, лежащий на прямой, имеет одну координату x, на плоскости – две координаты x, y; в пространстве – три координаты x, y, z.