Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:

=(x,y,z) или ={x,y,z}

Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Пусть в пространстве имеется декартова система координат Oxyz. С ней связан стандартный базис из единичных взаимно перпендикулярных векторов, расположенных вдоль осей Ox, Oy, Oz. Эти

базисные век тора обозначаются через , , .

Выясним связь между введёнными ранее понятиями координат точки в системе Oxyz и вектора в базисе { , , }.

Определение. Вектор, начало которого находится в начале координат, а конец в точке A, т.е. вектор , называется радиус–вектором точки A.

Если (x,y,z) – координаты точки A в системе Oxyz, то радиус–вектор можно записать в виде =x +y +z . Поэтому координаты точки A(x,y,z) в системе Oxyz и вектора в базисе { , , } – это одни и те же числа.

Теорема. Пусть в декартовой системе координат Oxyz заданы две точки A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B), тогда в базисе { , , } вектор имеет координаты ((x_В– x_А),(y_В–y_А),(z_В–z_А)).

Доказательство. Запишем вектор в виде:

= – = +(–1)

и воспользуемся результатом предыдущей теоремы для базиса { }, получим:

.

Пример3. Пусть A(1,–1,1), B(2,3,4), тогда в базисе { , , }

= +4 +3 , т.е. ={1,4,3}.

Иногда координаты вектора в базисе { , , } удобно представлять себе в виде проекций.

Определение. Проекцией вектора на координатную ось L называется длина проекции вектора на L, взятая со знаком “+”, если угол между и положительным направлением оси острый, и “–“, если он тупой.

При параллельном переносе вектора, его проекция на ось L не меняется. Проекция обозначается символами . Несложно проверить, что = и = + . Очевидно, что если имеет координаты то , , .

Отсюда получим следующую теорему.

Теорема. Пусть вектор имеет координаты в базисе , тогда , , .

Определение. Проекцией вектора на ненулевой вектор (обозначение ) называется его проекция на ось L, проведенная через вектор (см. рис. 2.14).

§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства

Имеются три вида произведений векторов: скалярное, векторное и смешанное. Название первого из них произошло от слова скаляр – число. Скалярная величина в математике – это величина, принимающая численные значения.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

.

Скалярное произведение обозначается символами .

Пример 1. Если , то .

Пример 2. Пусть точка перемещается вдоль вектора под действием постоянной силы , соста вляющей угол с отрезком (см. рис. 2.15).

Тогда из механики известно, что работа этой силы по перемещению точки равна скалярному произведению векторов и , т.е.

.

Свойства скалярного произведения

1⁰ Для любых векторов и : , т.е. это произведение коммутативно.

2⁰ Для любого вектора :

. .

3⁰ Скалярные произведение ненулевых векторов и равно только в том случае, когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны).

4⁰ Для любых векторов и верно соотношение

.

5⁰ Для любого вектора с координатами в базисе верно

, , .

6⁰ Постоянный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е. для любых векторов , и числа верно:

.

7⁰ Cкалярное произведение обладает свойством дистрибутивности, т.е. для любых векторов : .

Следствие.

Пример3. Найдем длину большей диагонали параллелограмма, образованного векторами и , если , ( см. рис. 2.16).

Поскольку , то

.

Получим формулу для вычисления скалярного произведения в случае, когда векторы заданы своими координатами, а также некоторые следствия из нее. Для определенности будем считать, что все векторы определены в пространстве. Для случая плоскости во всех формулах следует отбросить аппликаты всех векторов (координату ).

Теорема. Пусть в базисе вектор имеет координаты , а вектор – . Тогда

.

Доказательство. Воспользуемся свойствами 6 и 7 скалярного произведения, получим

.

Поскольку базисные векторы взаимно перпендикулярны, то , а поскольку эти векторы имеют единичную длину, то . Подставив эти соотношения в последнее равенство, получим, что

.

Пример4. Если , а , то .

Следствие 1. Если вектор , в базисе , то

.

Доказательство. .

Пример5. Если , то

.

Следствие 2. Косинус угла между векторами и равен:

.

Доказательство. Из соотношения получим . Затем для вычисления воспользуемся теоремой, а для и

следствием 1.

Пример6. Если , , то

.

Следствие 3. Векторы и перпендикулярны только в том случае, когда

.

Определение. Направляющими косинусами ненулевого вектора называются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат (см. рис. 2.17).

Обычно эти углы обозначаются через .

Следствие 4. Для вектора с координатами направляющие косинусы записываются в виде:

;

;

.

Доказательство. Поскольку , то учитывая, что из следствия 2 будем иметь:

.

Остальные формулы доказываются аналогично.

Пример 7. Если то

Направляющие косинусы вектора обладают следующим свойством.

Следствие 5.

Доказательство. Из предыдущего следствия получим:

Определение. Вектор координаты которого совпадают с

направляющими косинусами вектора , называется ортом вектора .

Его обозначение =( ).

Орт вектора по модулю равен 1 и сонаправлен вектору .

В самом деле из следствия и следует что т.е. коллинеарен и имеет то же направление.

Пример 8. Для вектора : .