- •§ 1.1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства
- •Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
- •§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
- •§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
- •§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •§ 1.5. Ранг матрицы
- •§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
- •§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
- •§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических
- •Контрольные вопросы
- •Литературы:
- •Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
- •§2.1. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного
- •§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства
- •Свойства смешанного произведения.
- •Литературы:
- •Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142
- •Тема 5. Введение в анализ. Функция
- •Множества. Логическая символика
- •Функция. Основные свойства функций
- •Способы задания.
- •1.3.Элементы поведения функции
- •Контрольные вопросы:
- •Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
- •Тема 6. Предел и непрерывность
- •1 Предел переменной величины. Предел последовательности.
- •2.Предел функции Дадим определения пределов функции при
- •3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •3.2 Бесконечно большие функции и их свойства
- •4.Непрерывность функции
- •4.1 Классификация точек разрыва
- •4.2 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Литературы:
- •Тема 7. Дифференциальное исчисление. Производная
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t) (рис.2).
- •1 Дифференцирование сложной функции
- •3. Таблица производных основных элементарных функций
- •4. Параметрически заданная функция и её производная
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Понятие дифференциала функции
- •2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
- •3. Приложения производной
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •2 Правило Лопиталя
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
- •Тема 9 Исследование поведения функции и их графиков.
- •Для этого определим интервалы знакопостоянства ее производной
- •Выпуклость и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
1.3.Элементы поведения функции
Ограниченные величины и функции. Переменная величина называется ограниченной, если существует такое число , что все значения попадают в интервал . Иными словами, для всех значений выполняется неравенство
Для функции ограниченность означает выполнение неравенства
(*)
при всех из области определения. Геометрически это условие означает, что все точки графика функции лежат в горизонтальной полосе между прямыми (рис. 7)
Так, например, ограниченная функция, так как при всех .
Иногда говорят об ограниченности функции лишь на некотором интервале, являющемся частью области определения; это значит, что условие (*) выполняется для рассматриваемого интервала; число может зависеть от взятого интервала.
y M
x
0
-M
Рис. 7
Пример. - функция, не являющаяся ограниченной. В самом деле, какое бы мы не взяли, для тех , для которых будет выполняться неравенство (рис.8).
y
x
0 x
Рис. 8
В то же время на любом интервале эта функция ограничена: (рис.9). Число зависит от этого интервала.
y
M
-x 0
x
-M
Рис. 9
Возрастание и убывание функций на интервале. Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции (рис.10).
y
0
x1 x2 x
Рис.10
Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис.11).
Запишем эти определения с помощью логических символов - кванторов: для интервала - условие возрастания; - условие убывания.
Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности этой функции, а про функцию говорят, что она монотонна на этом интервале.
y
0 x1 x2 x
Рис. 11
Пример 10. (рис.12). Интервалы монотонности: на функция убывает; на функция возрастает.
y
x
0
Рис.12
Четные и нечетные функции. Пусть задана функция с областью определения . Функция называется четной, если выполняется условие
функция называется нечетной, если
Примеры:
. Область определения симметрична относительно начала координат . Функция четная.
. Область определения . Функция нечетная.
. Область определения (два интервала) симметрична относительно начала координат (множество всех действительных чисел с выброшенным нулем). . Функция нечетная.
Из тригонометрии известно, что - нечетные функции; - четная функция.
Геометрически четность функции означает, что ее график симметричен относительно оси ординат. Действительно, наряду с точкой график содержит точку , так как , точка имеет координаты . Точки и оказались симметричными относительно оси ординат (рис. 13).
y
x
-x o x
Рис. 13
Таким образом, наряду с произвольной точкой график четной функции содержит и точку, симметричную ей относительно оси ординат, а значит, и весь график четной функции симметричен относительно оси (рис.14).
y
Четная функция
0 x
Рис. 14
Рассуждая аналогичным образом, можно установить, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.15).
y
0 x
Рис. 15
Примеры:
; Пусть и , тогда, т.е. и . Значит, рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной.
Пусть и , тогда , т.е. и . Таким образом, эта функция является функцией общего вида.
Период. Периодические функции. Число называется периодом функции с областью определения , если
Функция , обладающая периодом, называется периодической. Условие предполагает, конечно, что наряду с любым и
Если число - период функции , то и любое целое, кратное , т.е. число где будет периодом . Например, , т.е. - период; , т.е. тоже период . В дальнейшем название периода функции будем применять к наименьшему положительному периоду.
Пример. Из тригонометрии известно, что периоды функций и равны , а периоды равны .
График периодической функции с периодом достаточно построить на каком-либо интервале с длиной, равной периоду, а затем построенную часть графика сдвигать вдоль оси на и т. д. (рис. 16).
Пример. Периодична ли функция (показательная)? Допустим, что периодична. Тогда , при этом для любого ; отсюда .
Это противоречит нашему предположению о существовании периода, значит, предположение неверно. Функция не является периодической.
y
0 l x
Рис.16
Сложная функция (функция от функции). Пусть дана функция от аргумента , причем аргумент , в свою очередь, является функцией от независимой переменной :
Возьмем какое-либо значение . В силу функциональной зависимости от этому значению отвечает определенное значение : . Полученному значению , в свою очередь, отвечает определенное значение
(рис.17)
y
x
t t
Рис.17
На рис. 17 переменные откладываются на трех осях, изображенных параллельно. В конечном итоге взятому значению соответствует определенное значение , т.е. переменная оказалась функцией независимой переменной .
Получаем . Функция называется сложной функцией от независимой переменной или функцией от функции (функция от функции ). При этом функция называется заданной или внешней функцией, а - промежуточным аргументом. Функции и называют еще составляющими для сложной функции ; говорят также, что является суперпозицией функций и . Чтобы образовать функцию от функции, нужно, чтобы область значений промежуточной переменной "укладывалась" в область определения заданной функции (рис.18). В противном случае среди значений функции будут и такие, от которых значение функции образовать нельзя (рис. 19). В таких случаях сложную функцию (или функцию от функции) можно задать только для тех значений независимой переменной , для которых значения промежуточной переменной попадают в область определения внешней функции .
y
Область определения функции
x
Область значений функции
t
Область определения функции
Рис.18
y
? Область значений функции
x
Область определения функции
t
Область определения функции
Рис.19
Примеры:
1. . Область значений промежуточной переменной - отрезок [-1;1]; он не укладывается в область определения внешней функции [ее область определения ]. Поэтому сложную функцию можно образовать только для тех значений аргумента , для которых .
2. . Здесь область значений промежуточного переменного , а область определения внешней функции . Значит, в этом случае образовать сложную функцию [т.е. суперпозицию функций и ] нельзя.
Сложные функции могут быть образованы и из большего числа составляющих.
Примеры:
1. у = x3; x = sint, t = 3w + l ; у = F(w) = (sin(3w + l))3 - Здесь два промежуточных аргумента х и t, независимая переменная w.
2. .
1.3.2. Обратная функция. Пусть на некотором интервале X задана функция , область значений которой обозначим Y . Согласно определению функции каждому значению соответствует определенное значение .Если же интервал X является интервалом монотонности для f(x), то и каждому значению отвечает одно вполне определенное значение , для которого у = f(x) (рис.20). Таким образом, в этом случае функциональная зависимость между может рассматриваться и как функция , т.е. можно рассматривать как аргумент, а - как функцию. У функции областью определения является Y , а областью значений - X . Функции и называются взаимно обратными обратная функция к функции ; - обратная функция к функции . Уравнение получается в результате разрешения, если это возможно, уравнения относительно переменной .
Если f и - взаимно обратные функции, то имеют место тождества (рис.21)
Графиком функции является та же линия, которая изображала функцию y = f(x): ведь уравнение - просто иначе переписанное уравнение у = f(x) .
Рис. 20 Рис. 21
Примеры:
1. - обратная к ней функция. Областью определения функции у = 2х является , этот же интервал является областью значений обратной функции . Областью значений функции служит интервал , он же является областью определения для (рис.22). Обратная функция в этом примере существует потому, что - возрастающая функция на всей числовой оси.
2. (рис.17).
Рис.22 Рис.23
Функция несколько неудобна тем, что, вопреки привычному, ее аргументом является , а не и значением функции служит , а не . Неудобство это скорее психологического характера, однако, чтобы его избежать, наряду с функцией рассматривают функцию , которую также называют обратной функцией к функции . Функция получается из переменой ролей и :
обратные функции к
Примеры:
1.
обратные функции к
2.
обратные функции к
График обратной функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
При таком перегибании плоскости график нашей функции отобразится симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.24). На рис.25 показаны графики взаимно обратных функций и .
Рис.24 Рис.25
1.3.3.Неявные функции. Иногда функциональная зависимость величин у и х задается некоторым уравнением, связывающим х и у, но нерешенным ни относительно у, ни относительно х. Например, уравнение прямой Правда, его очень просто решить относительно у: , и мы получаем обычное задание функции. Однако уравнение, связывающее х и у , не всегда удается разрешить относительно у или х. Таково, например, уравнение . Однако и здесь значениям х отвечают определенные значения у (например, значению х = 0 отвечает у = -2). В таких случаях говорят, что функция у - неявная функция от х , она задана уравнением, связывающим x и у. Подобным образом задаются многие кривые в аналитической геометрии. Например, - уравнение окружности (с центром в начале координат и радиуса ). Здесь можно явно выразить у через х : , но получаются две функции, соответствующие "+" или "-" перед корнем (верхняя и нижняя полуокружности). Точно так же уравнение эллипса заданием неявной функции. В самом общем виде уравнение, задающее неявную функцию, можно записать как
где буква F "скрывает" те операции над х и у, которые следует проделать в основной (левой) части уравнения. Исследовать неявные функции почти всегда труднее.
1.3.4. Параметрическое задание функции. Кривые на плоскости часто задаются параметрическими уравнениями. В этих уравнениях координаты х и у точки на кривой выражены как функции третьего, вспомогательного переменного t (параметра):
Это новый, иногда наиболее удобный, способ задать функциональную зависимость между х и у. Считаем, что функция имеет обратную: . [т.е. решаем уравнение относительно ]. Поставив это во второе уравнение, получим:
т.е. у есть функция от х (сложная функция).
Примеры:
1)
2)
параметрические уравнения: 1) окружности радиуса , 2) эллипса с полуосями а и b .
Весьма часто параметрическое задание линии возникает в механике. Там x и у - координаты движущейся точки, меняющиеся в зависимости от времени t, а линия - траектория этой точки.