![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 1.1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства
- •Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
- •§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
- •§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
- •§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •§ 1.5. Ранг матрицы
- •§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
- •§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
- •§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических
- •Контрольные вопросы
- •Литературы:
- •Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
- •§2.1. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного
- •§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства
- •Свойства смешанного произведения.
- •Литературы:
- •Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142
- •Тема 5. Введение в анализ. Функция
- •Множества. Логическая символика
- •Функция. Основные свойства функций
- •Способы задания.
- •1.3.Элементы поведения функции
- •Контрольные вопросы:
- •Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
- •Тема 6. Предел и непрерывность
- •1 Предел переменной величины. Предел последовательности.
- •2.Предел функции Дадим определения пределов функции при
- •3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •3.2 Бесконечно большие функции и их свойства
- •4.Непрерывность функции
- •4.1 Классификация точек разрыва
- •4.2 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Литературы:
- •Тема 7. Дифференциальное исчисление. Производная
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t) (рис.2).
- •1 Дифференцирование сложной функции
- •3. Таблица производных основных элементарных функций
- •4. Параметрически заданная функция и её производная
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Понятие дифференциала функции
- •2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
- •3. Приложения производной
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •2 Правило Лопиталя
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
- •Тема 9 Исследование поведения функции и их графиков.
- •Для этого определим интервалы знакопостоянства ее производной
- •Выпуклость и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
2.Предел функции Дадим определения пределов функции при
.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, этой точки.
Определение.
Число А
называется пределом функции
при
,
если для каждого
найдётся такое 0,
что для всех
выполняется неравенство
,
т. е.
.
(Обозначается
или
Рис.4
Определение . Число А называется пределом слева функции при ,
если
.
(Обозначается
или
).
Определение . Число А называется пределом справа функции при ,
если
.
(Обозначается
или
).
Теорема.
существует в том и только в том случае,
когда существуют пределы
,
и они равны между собой.
Пример.
.
В этом примере
рассматривается только
,
поэтому
.
.
не существует,
поскольку
.
Определение.
Число А называется пределом функции
при
,
если для каждого 0
найдётся такое число N , что при любом
выполняется
,
т. е.
.
(Обозначается
).
Определение.
Число А называется пределом функции
при
,
если
.
(Обозначается
.
Определение.
Число А называется пределом функции
при
,
если
.
(Обозначается
).
Последнее определение
подразумевает, что
определена в некотором интервале
,
пятое определение подразумевает, что
она определена в интервале
,
а из шестого определения следует, что
она определена при
и
,
т. е. в промежутках
.
Теорема.
Предел
существует в том и только в том случае,
когда существуют
и они равны между собой.
Примеры:
;
Докажем, что
.
Для
возьмем
,
тогда при
.
Свойства функций и последовательностей, имеющих предел. Рассматриваемые ниже свойства справедливы для всех видов пределов функций и пределов последовательности. Однако для краткости будем формулировать их для одного предела (при ).
Предел постоянной функции (или последовательности) равен этой постоянной, т. е.
.
Если предел функции (последовательности) существует, то он единствен.
Определение.
Функция
называется ограниченной сверху в
промежутке ,
если найдётся такое число С, что для
всех x принадлежащих ,
.
Если
,
то такая функция называется ограниченной
снизу в .
Функция, ограниченная сверху и снизу в , называется ограниченной в . Если не упоминается, то подразумевается, что =R.
Рис.5
Примеры:
1) Функция
ограничена, т. к.
для всех x.
2) Функция
ограничена снизу, но не сверху. На
промежутке
она ограничена.
Определение.
Последовательность
называется ограниченной (сверху, снизу),
если найдётся такое С, что для всех
,
,
(или
,
или
).
Примеры:
1.
–
ограничена.
2.
– ограничена снизу.
Если функция имеет предел , то она ограничена в некоторой окрестности точки a .
При существовании
пределов
функция ограничена в соответствующих
интервалах
Любая последовательность, имеющая предел, ограничена.
Определение. Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале
(а,
),
если для любых
из этого интервала выполняется
неравенство
(
).
Если
,
имеет место
(
),
то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, ). Такие функции называют монотонными на (а; ).
Определение.
Последовательность
называется неубывающей
(невозрастающей),
если для любых
выполняется
.
Примеры:
Любая постоянная функция или последовательность не возрастает и не убывает.
Функция монотонна, убывает на интервале (-,0) и возрастает на интервале (0,+).
Теорема. Пусть функция монотонно возрастает (убывает) на интервале (а, ) и ограничена сверху (снизу) на этом интервале числом С, тогда существует
и
.
Здесь число
может быть равным +,
тогда рассматривается
.
Рис.6
Если последовательность
монотонно возрастает (убывает) и
ограничена сверху (снизу), то существует
и число
,
что
Аналогичное
утверждение можно сформулировать для
и
.
Теорема.
Пусть в некоторой окрестности точки
,
кроме этой точки, для функций
выполняется соотношение
и пусть пределы
и
существуют и равны между собой,
.
Тогда
также существует и равен
( см. рис 7).
Рис.7
Сформулируйте и докажите аналогичные утверждения для последовательностей.