2 Производные и дифференциалы высших порядков
Производная
называется еще первой производной
функции
или производной первого порядка, сама
функция
называется производной нулевого порядка.
Определение.
Производной
–
го порядка функции называется производная
от её производной (
-1)
порядка при условии, что эти производные
существуют
,
=1,2,3,…
функция f при этом называется раз дифференцируемой..
Пример. Дано
.
Первая производная
,
вторая производная
,
третья производная
.
Следовательно,
,
.
Эта функция
бесконечно дифференцируема для
,
т.е. она имеет производные всех порядков.
Для суммы и произведения
–раз
дифференцируемых функций
и
справедливы следующие правила
дифференцирования (
):
1.
,
.
2. Формула Лейбница:
;
.
Без доказательства.
Пример.
Вычислить
по формуле Лейбница.
.
Заметим, что
и
,
поэтому
при
и последующие слагаемые также равны
нулю, следовательно,
.
Пусть функция
–раз
дифференцируема.
Определение.
Дифференциалом
–го
порядка называется дифференциал от ее
дифференциала
–го порядка
,
вычисленный в
предположении, что
остается постоянной.
Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
,
,
,
… … … … … … … … … … … … … … …
.
Из последней формулы имеем еще одно обозначение для производной –го порядка.
Для дифференциалов –го порядка также справедливы следующие правила:
1)
,
.
2)
,
.
3. Приложения производной
1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Определение.
Точка
называется точкой
минимума (максимума)
функции,
,
если она определена в некоторой
окрестности
этой точки и для
.
Значение
в этом случае называется минимумом
(максимумом)
функции. Точки минимума и максимума
называются экстремальными
точками,
а соответствующие значения
функции–экстремумами.
Функция, определенная
на отрезке
,
имеет там только одно наибольшее и
наименьшее значения, но может иметь
несколько максимумов и минимумов. При
этом некоторые максимумы могут быть
меньше минимумов (рис.2).
Здесь
и
– точки максимумов,
и
– максимумы;
и
–
точки минимумов;
и
– минимумы;
– экстремальные точки,
–
экстремумы.
Теорема Ферма.
Пусть
–
точка минимума, т.е.
для
.
Тогда для
,
и
.
Для
и
.
Следовательно,
.
Заметим, что если
,
то касательная к графику функции
в этой точке параллельна оси
(так
как тангенс угла наклона этой касательной
равен нулю). Поэтому геометрический
смысл теоремы Ферма состоит в том, что
касательная в экстремальной точке
функции (если она существует) параллельна
оси
(рис3).
и
– точки минимума, в
– касательная параллельна оси
,
в точке
касательной нет.
Следующие три теоремы выявляют свойства функций, дифференцируемых на отрезке.
Определение.
Функция
называется дифференцируемой на отрезке
,
если она непрерывна на этом отрезке и
имеет производную во всех точках
интервала
.
Для таких функций кроме теорем Больцано–Коши и Вейерштрасса справедливы еще следующие теоремы.
Теорема Ролля.
Пусть
функция
дифференцируема на отрезке
и принимает на его концах равные
значения:
.
Тогда
такая, что
.
Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий , в которой касательная к графику функций параллельна оси и хорде, соединяющей концы графика на отрезке (рис.4).
Рис.4
Рис 12
Пример. В
интервале (–1,1) нет точек, в которых
касательная к графику
параллельна оси
.
Здесь нарушается условие теоремы Ролля:
в точке
функция
не дифференцируема, хотя
.
Теорема Коши.
Пусть функция
и
дифференцируемы на
и
для
.
Тогда
такая, что
.
Следующая теорема является прямым следствием теоремы Коши, однако, в силу ее широкого применения имеет специальное название.
Теорема Лагранжа. Пусть функция дифференцируема на . Тогда в интервале :
.
Заметим, что
равна тангенсу
угла наклона хорды, соединяющей концы
графика
на
,
а
равна тангенсу угла наклона касательной
к графику функции в точке
(рис.5).
Из равенства этих углов получаем геометрический смысл теоремы Лагранжа. При выполнении условий этой теоремы , в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы графика.
,
.
Следствие
1.
Возьмем
,
,
тогда при выполнении условий теоремы
Лагранжа в отрезке
будем иметь
,
где
.
Это можно записать в виде
,
где
.
Тогда приращение функции записывается в виде
или
в общем виде
.
Следствие
2. Пусть
функция
дифференцируема и
,
тогда эта функция постоянна в
,
т. е.
.