![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 1.1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства
- •Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
- •§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
- •§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
- •§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •§ 1.5. Ранг матрицы
- •§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
- •§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
- •§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических
- •Контрольные вопросы
- •Литературы:
- •Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
- •§2.1. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного
- •§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства
- •Свойства смешанного произведения.
- •Литературы:
- •Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142
- •Тема 5. Введение в анализ. Функция
- •Множества. Логическая символика
- •Функция. Основные свойства функций
- •Способы задания.
- •1.3.Элементы поведения функции
- •Контрольные вопросы:
- •Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
- •Тема 6. Предел и непрерывность
- •1 Предел переменной величины. Предел последовательности.
- •2.Предел функции Дадим определения пределов функции при
- •3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •3.2 Бесконечно большие функции и их свойства
- •4.Непрерывность функции
- •4.1 Классификация точек разрыва
- •4.2 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Литературы:
- •Тема 7. Дифференциальное исчисление. Производная
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t) (рис.2).
- •1 Дифференцирование сложной функции
- •3. Таблица производных основных элементарных функций
- •4. Параметрически заданная функция и её производная
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Понятие дифференциала функции
- •2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
- •3. Приложения производной
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •2 Правило Лопиталя
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
- •Тема 9 Исследование поведения функции и их графиков.
- •Для этого определим интервалы знакопостоянства ее производной
- •Выпуклость и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
Это произведение
определено только для пространственных
векторов
и
,
и оно обозначается символами
или
Определение.
Векторным
произведением
векторов
и
называется вектор
,
удовлетворяющий трём условиям:
а) Модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними:
sin
в) перпендикулярен векторам и т.е. он перпендикулярен плоскости, проходящей через вектора и .
с)
Тройка
векторов
правая
(см. рис. 2.18).
Пример
1.
Найдем
.
Поскольку
и
то
Вектор
перпендикулярен векторам
,
т.е. он направлен вдоль оси
и образует правую тройку с векторами
.
Этим свойством обладает только вектор
,
т.е.
.
Отметим следующие свойства векторного произведения.
В
отличие от скалярного произведения
векторное произведение
антикоммутативно т.е. для любых векторов и верно:
.
.
Ненулевые
векторы
коллинеарны только в том случае
когда
.
.
Постоянный
множитель можно выносить за знак
векторного произведения
т.е. для любых векторов
и числа
верно
:
.
.
Векторное
произведение обладает свойством
дистрибутивности
т.е. для любых векторов
верно
.
Теорема. Пусть в базисе векторы имеют координаты и соответственно.
Тогда в этом базисе
Для запоминания этой формулы используется её запись в виде условного определителя:
,
который необходимо разложить по первой строке.
Пример2.
Из того
что
следует, что
.
Пример3.
.
Пример4.
Пусть
Найдем
Из-за некоммутативности векторного произведения правила тождественных преобразований для этого произведения не применяются для вычисления модуля вектора используются свойства и определения этого произведения.
Пример5.
Пусть
Найдем .
Векторное
произведение, в частности, применяется
для нахождения координат векторов
перпендикулярных двум заданным векторам.
В последнем примере вектор
перпендикулярен векторам
и образует с ними правую тройку. Другое
приложение векторного произведения
связано с задачей нахождения площадей.
Заметим
что модуль векторного произведения
равен площади параллелограмма,
построенного на векторах
.
Площадь треугольника образованного
этими векторами равна
Отсюда получаем следующее.
Следствие 1. Площадь параллелограмма построенного на векторах и , равна:
.
Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна:
.
Пример6.
Найдем площадь треугольника АВС
где
Для
её нахождения используем векторы
и
Следствие
2.
Площадь
параллелограмма
построенного на векторах
и
,
лежащих в плоскости
,
равна:
.
Площадь треугольника построенного на векторах, равна:
Эти
формулы получаются из формул следствия
1 путем подстановки туда
Получим:
.
Последнюю формулу можно такие записать в виде:
.
Другие приложения векторного произведения будут рассмотрены в 11-м модуле, изучаемом в третьем семестре.