§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии

Рассмотрим две простейшие задачи: нахождение расстояния между двумя точками и деление отрезка в данном отношении.

Расстояние между точками A и B будем обозначать через AB. Оно обладает следующими свойствами.

1. AB 0. AB=0 только в том случае, когда A=B.

2. AB=BA.

3. AC≤AB+BC.

Теорема 1. Расстояние между точками A(x_A) и B(x_B) на оси Ox находится по формуле AB=x_B–x_A. Здесь справа записан модуль разности между координатами точек B и A.

Рис.2.3 Расстояние между точками

Теорема 2. Расстояние между точками A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B) на плоскости Oxy находится по формуле AB= .

Теорема 3. Расстояние между точками A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B) в пространстве Oxyz находится по формуле

.

Пример. Пусть A(1,1,1), B(2,3,–1). Найдём |AB|.

Определение. Разделить отрезок AB в отношении это значит найти на нём такую точку M, что

Теорема 4. Пусть точки A(x_A) и B(x_B) лежат на оси Ox и точка M(x_M) делит отрезок AB в отношении , тогда .

Доказательство. Пусть x_Bx_A, тогда x_Ax_Mx_B, |AM|=x_M–x_A, |MB|=x_B–x_M, из определения точки M получим уравнение:

Решим его.

Теорема 5. Пусть точка M(x_M,y_M,z_M) делит отрезок AB в отношении , где A(x_A,y_A,z_A), B(x_B,y_B,z_B), тогда

Пример2. Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении , где A(1,1,2), B(4,7,8). Получим:

.

Следовательно, M(2,3,4).

Следствие. Если точка M является серединой отрезка AB, то

.

Эти формулы получаются из формул теоремы 5 при ==1.

§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного

пространства. Координаты вектора

Векторы используются для описания величин имеющих определённое направление. Примерами таких величин являются сила, скорость, перемещение.

Определение. Вектором называется отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок.

Вектор с началом в точке A и с концом в точке B обозначается через , кроме того вектор можно обозначать одним символом, например .

Вектор, у которого начало совпадает с его концом называется нулевым вектором и обозначается через . Длина отрезка, изображающего вектор , называется модулем этого вектора и обозначается | |.

Векторы , параллельные одной прямой называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и считаются равными, если они равны по модулю, коллинеарны и одинаково направлены. Из этого определения следует, что при параллельном переносе вектор не меняется, по этому в качестве начала вектора можно выбрать любую точку.

Линейными операциями над векторами называются умножение вектора на число и сложение векторов.

Определение. Произведением вектора на число  называется такой вектор  , что выполняются три условия.

1. | |=||| |

2.  ||

3. Вектор  сонаправлен вектору , если 0 и направлен в противоположную сторону, если 0.

Пример1. Ниже изображены вектора ; 0,5 ; –2 .

Рис. 2. 4 Умножения вектора на число

Определение. Суммой векторов и  исходящих из одной точки называется вектор совпадающий с диагональю параллелограмма, образованного векторами и  исходящий из той же точки.

Рис. 2.5 Сложение векторов

Если вектора и не исходят из одной точки, то их начала необходимо с помощью параллельного переноса перенести в одну точку. Это определение называется правилом параллелограмма. При сложении большого числа векторов удобнее пользоваться следующим определением, равносильным предыдущему.

Суммой векторов , ,...,  у которых начало вектора совпадает с концом (i=2k), является вектор соединяющий начало вектора с концом вектора .

Пример2. Если вектора , , совпадают с тремя рёбрами параллелепипеда исходящими из одной вершины, то их сумма + + совпадает с диагональю этого параллелепипеда, исходящей из той же вершины (рис.2.6)

Эти линейные операции над векторами обладают следующими свойствами.

1. 1 =

2. 0 =

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Операция разности векторов и сводится к двум линейным операциям: , однако часто удобней пользоваться следующим специальным определением равносильным вышеприведённому.

Определение. Разностью векторов и , исходящих из одной точки называется вектор, соединяющий конец вектора с концом вектора и направленный в сторону конца вектора .