![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 1.1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства
- •Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
- •§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
- •§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
- •§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •§ 1.5. Ранг матрицы
- •§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
- •§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
- •§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических
- •Контрольные вопросы
- •Литературы:
- •Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
- •§2.1. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного
- •§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства
- •Свойства смешанного произведения.
- •Литературы:
- •Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142
- •Тема 5. Введение в анализ. Функция
- •Множества. Логическая символика
- •Функция. Основные свойства функций
- •Способы задания.
- •1.3.Элементы поведения функции
- •Контрольные вопросы:
- •Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
- •Тема 6. Предел и непрерывность
- •1 Предел переменной величины. Предел последовательности.
- •2.Предел функции Дадим определения пределов функции при
- •3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •3.2 Бесконечно большие функции и их свойства
- •4.Непрерывность функции
- •4.1 Классификация точек разрыва
- •4.2 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Литературы:
- •Тема 7. Дифференциальное исчисление. Производная
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t) (рис.2).
- •1 Дифференцирование сложной функции
- •3. Таблица производных основных элементарных функций
- •4. Параметрически заданная функция и её производная
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Понятие дифференциала функции
- •2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
- •3. Приложения производной
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •2 Правило Лопиталя
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
- •Тема 9 Исследование поведения функции и их графиков.
- •Для этого определим интервалы знакопостоянства ее производной
- •Выпуклость и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
§ 1.5. Ранг матрицы
Рассмотрим одну числовую характеристику любой (необязательно квадратной) матрицы. Ранг матрицы определяет число так называемых базисных строк или столбцов матрицы, через которые с помощью линейных операций можно получить все остальные строки или столбцы матрицы.
Определение. Минором k-го порядка матрицы A называется определитель составленный из элементов стоящих на пересечении произвольно выбранных k -столбцов и k-строк этой матрицы.
Пример
8.
У матрицы
имеется один минор 3-го порядка–
,
9 миноров 2-го порядка –
,
,
,
,
,
,
,
,
,
9 миноров 1-го порядка –
.
Миноров других порядков у этой матрицы нет.
Определение. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
Он обозначается символом r(A) или rangA. r (A) – целое неотрицательное число, не превосходящее числа строк и столбцов матрицы A. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.
Для нахождения r (A) формально необходимо рассмотреть все миноры A, начиная с 1-го порядка и проверить их на вырожденность.
Метод окаймляющих миноров позволяет сократить эту процедуру. Он состоит в следующем. Выбираем любой невырожденный минор 1-го порядка (ненулевой элемент матрицы A). Обозначим его через M1. Затем рассматриваем все миноры 2-го порядка, содержащие M1 (окаймляющие его). Если все они вырождены, то r (A)=1, если нет, то невырожденный минор 2-го порядка обозначаем через M2 и так далее. Если у матрицы A есть невырожденный минор k-го порядка и все окаймляющие его миноры (если они есть) вырождены, то r (A)=k, иначе выбираем минор Mk+1 и продолжаем этот процесс.
Пример
9.
Найдём ранг матрицы
.
У матрицы выбираем
невырожденный минор 1-го порядка
M1=(a11)=1.
Среди окаймляющих его миноров есть один
невырожденный
.
Единственный минор 3-го порядка окаймляющий
M2
– это сама матрица A. Но, поскольку
,
то A – вырождена и r (A)=2.
Рассмотрим ещё один метод нахождения r (A), который называется методом элементарных преобразований или методом Гаусса.
Элементарными преобразованиями для матрицы A называются следующие её преобразования.
1. Перестановка строк или столбцов местами.
2. Умножение строки или столбца на ненулевой коэффициент.
3. Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на некоторое число .
4. Зачёркивание нулевой строки или столбца матрицы.
Матрица B, полученная из A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной ей и обозначается в виде A~B.
Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.
Теорема. Ранг треугольной матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований матрица A приводится к верхнетреугольному виду с ненулевыми элементами на главной диагонали (если матрица не квадратная, то она приводится к ступенчатому виду). Число этих ненулевых элементов совпадает с рангом матрицы.
Этот метод состоит в следующем.
1. С помощью перестановок строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы a11 стал отличным от нуля (здесь и в дальнейшем элементы всех матриц будем обозначать в виде aij).
2. Прибавим ко
второй строке первую, умноженную на
.
Прибавим к третьей строке матрицы
первую
умноженную на
и так далее. В результате в первом столбце
получим нулевые элементы ниже a11.
3. С помощью перестановок строк и столбцов начиная со второй строки и второго столбца добиваемся того чтобы a220.
4. Прибавим к третьей
строке вторую, умноженную на
.
Прибавим к четвёртой строке матрицы
вторую умноженную на
и так далее. В результате во втором
столбце получим нулевые элементы ниже
a22.
Этот процесс
продолжаем до тех пор, пока возможно
получение
0
из строк и столбцов начиная с номера i.
Окончательно
после зачёркивания нулевых строк
матрица приводится к виду
,
где
0.
Поскольку её невырожденный минор r –го порядка находится в левом верхнем углу, то r (A) совпадает с числом ненулевых строк получившейся матрицы.
П
ерестановку
строк или столбцов местами будем
обозначать символом ↕, где стрелки
указывают на переставляемые строки или
столбцы, а третье элементарное
преобразование символом (k), где
стрелка начинается у строки, которую
умножаем на k и заканчивается у изменяемой
строки.
Пример
10.
Найдём ранг матрицы
.
Проведём элементарные преобразования согласно методу Гаусса.
~
~
~
.
Следовательно, r (A)=2.
Определение. Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен r (A).
Пример 11. Для следующей матрицы А ее ранг равен 2:
,
так
как существует минор 2-го порядка
,
не равный нулю, а миноров 3-го порядка у
матрицы А нет. Единственный базисный
минор матрицы А – минор
.
Понятие ранга тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) её строк и столбцов. В дальнейшем материал излагается для строк матрицы, для столбцов матрицы изложение аналогично.
В матрице А обозначим её строки следующим образом:
Две
строки матрицы называются равными
если равны их соответствующие элементы:
.
Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:
Строка
е
называется линейной
комбинацией
строк
матрицы, если она равна сумме произведений
этих строк на произвольные действительные
числа:
где
-
любые числа.
Строки
матрицы
называются линейно
зависимыми,
если существуют такие числа
,
не равные одновременно нулю, что линейная
комбинация строк матрицы равна нулевой
строке:
где 0=(0 0 …0).
Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
Действительно,
пусть для определенности в формуле
,
,
тогда
или
где
Таким
образом, строка
является линейной комбинацией остальных
строк.
Если линейная комбинация
равна нулю тогда и только тогда, когда
все коэффициенты
равны нулю, т.е.
,
то строки
называются линейно
независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).
Пусть
матрица А размера
имеет ранг r
(
).
Это означает, что существует отличный
от нуля минор r-го
порядка. Всякий ненулевой минор r-го
порядка называли базисным
минором.
Пусть для определенности это минор
тогда
строки матрицы
линейно независимы.
Строки назовем базисными.
Покажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.
Рассмотрим минор (r+1)-го порядка, который получается при дополнении рассматриваемого минора элементами ещё одной строки i и столбца j :
Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен r, поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю.
Раскладывая
его по элементам последнего (добавленного
столбца, получаем)
,
где последнее алгебраическое дополнение
совпадает с базисным минором
и поэтому отлично от нуля, т.е.
.
Разделив последнее равенство на , можем выразить элемент как линейную комбинацию:
где
.
Фиксируем
значение i
(i>r)
и получаем, что для любого j
(j=1,2,
…, n)
элементы i-ой
строки
линейно выражаются через элементы строк
,
т.е. i-я
строка есть линейная комбинация
базисных:
.
Пример 12. В примере 10 для матрицы
минор второго порядка
невырожден, т.е. он является базисным. Поэтому у матрицы A базисными являются 1-ая и 2-ая строки и 1-ый и 2-ой столбцы. Третью строку матрицы можно записать в виде линейной комбинации базисных строк с коэффициентами 1 и 1: (3 5 7)=1(0 1 2)+1(3 4 5).
Третий столбец записывается в виде линейной комбинации первых
двух
с коэффициентами (–1) и 2:
.