3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение.
Функция
называется
бесконечно малой
(б. м.) при
,
если
или
Пример.
Функция
является б.м. при
и не является таковой при
.
Теорема 1.
Пусть
— б.м. при
,
тогда их сумма
также является
б.м. при
.
Теорема 2.
Пусть
б. м. при
,
а
ограничена в некоторой окрестности
точки а,
тогда
является б. м. при
.
Пример.
Вычислим
.
При
величина х является б. м., а функция
ограничена, так как
.
Следовательно, искомый предел, как предел б. м., равен нулю.
Теорема 3.
Предел
равен числу А
в том и только в том случае, когда
является б. м. при
.
Пример.
означает, что
является б. м. при
.
Из этого свойства
следует, что функцию
,
имеющую предел А при
,
можно записать в виде
,
где
есть б. м. при
.
Аналогично при
.
3.1 Основные
теоремы о пределах. Пусть
и
- функции, для которых существуют пределы
при
(или при
):
,
.
Сформулируем основные теоремы о пределах.
Функция не может иметь более одного предела.
Предел алгебраической суммы, то тогда
существует и равен
А В.
Если и существуют, то тогда
существует и равен
.
Если и и
существуют, то тогда
существует и равен
.
Первый замечательный предел
.
Доказательство.
Пусть
и
.
Рассмотрим круг единичного радиуса с
центральным углом АОВ=х.
(см. рис.8).
Из рис.34
непосредственно видно:
.
сектора
.
Рис. 8
Так как функция
чётная, то
.
.
Пример.
.
Второй замечательный предел
.
Здесь е 2,718282… – иррациональное число.
Доказательство. Мы докажем следующее утверждение:
существует и
2
е
3.
Для этого воспользовавшись формулой бинома Ньютона:
,
где
,
получаем:
Эта последовательность {хn} обладает двумя свойствами:
а) Она монотонно возрастает, так как в xn+1 на одно слагаемое больше, и каждое слагаемое в xn+1 больше соответствующего слагаемого в {хn}.
б)
,
т. е. {хn}
ограничена сверху числом 3. Следовательно,
по свойству 4 пределов
Пример. Вычислим предел
3.2 Бесконечно большие функции и их свойства
Определение. Функция y=F(x) называется бесконечно большой (б.б.) при x a, если
.
Это обозначается
символом
,
хотя предел этой функций при
не существует.
Пример.
Функция
является б.б. функцией при
,
так как
.
Очевидно, что любая
б.б. функция не ограничена в окрестности
точки
.
Если
и в некоторой окрестности точки а
функция
(соответственно
),
то еще пишут
(соответственно
).
Отметим следующие свойства б.б. функций.
Сумма двух б.б. одного знака при является б.б. при .
Сумма б.б. функции при и ограниченной в окрестности точки а функции является б.б. при .
Пример.
,так
как х- есть б. б. при
,
а
б. м., следовательно, ограниченная функция
при
.
Если
б. б. при
,
а
в некоторой окрестности точки
а,
то функция
является б. б. при
.
В частности, произведение двух б. б. и
произведение б. б. на функцию, имеющую
ненулевой предел, является б. б.
Пример.
,
так как х –
б.б. и
.
Если
б.
б. при
,
то
б.м. при
.Если
б.м. при
и
при
то
является б.б. при
.
Пример:
,
так как
б. б. одного знака при
.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
Определение.
Бесконечно
малая
называется б.м. высшего порядка малости
по сравнению с б.м.
при
в случае, если найдётся б.м.
при
такая, что
.
Соответствующее обозначение
.
Пример:
При
,
так как
и
есть б.м. при
.
При
:
Определение.
Бесконечно
малые
при
называются эквивалентными, если
.
Обозначение
.
Подобное определение даётся и для б.б.
функции.
Пример.
Б.м.
эквивалентны при
,
это следует из первого замечательного
предела.
Это отношение эквивалентности удовлетворяет трём свойствам
;
;Если
и
,
то
.
Теорема.
Из
следует,
что
.
Теорема.
Пусть
есть б. м. при
,
тогда:
;
;
;
;
;
,
;
.
Эти эквивалентные б.м. позволяют более просто вычислять некоторые пределы с помощью следующей теоремы.
Теорема.
Пусть
при
,
тогда
.
При этом оба записанных предела существуют одновременно. Если одно из выражений б. б., то другое также является б. б.
Пример.
,
так как
.