Асимптоты графика функции

Определение. Прямая L называется асимптотой для кривой k, если расстояние от точки M на k до L стремится к нулю при удалении M в бесконечность (т.е. при |OM| ) (рис.8).

Асимптоты графика функции y=f(x) (коротко говорят асимптоты функции) делятся на два вида:

1. вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси Оy, они имеют уравнения вида х=х₀;

2. наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси Оy; они имеют уравнения вида y=kx+b.

Ясно, что функция может иметь сколько угодно вертикальных асимптот и не более двух наклонных: правую и левую. Правая асимптота определяется при абсциссе х +, а левая при х –.

Примеры:

1. Функция y=x² не имеет асимптот.

2. Функция y=tgx имеет бесконечное множество вертикальных асимптот вида , и не имеет наклонных асимптот.

3. Функция y=1/x имеет вертикальную асимптоту x=0, для левой и правой ветвей гиперболы и левую и правую наклонную асимптоту y=0.

4. Функция y=|x| имеет левую наклонную асимптоту y= –x и правую y=x. Вертикальных асимптот у нее нет.

Теорема (о вертикальной асимптоте). Прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой функции y=f (x) только в том случае, когда при х х₀ – или х х₀+ эта функция является бесконечно большой.

Геометрический смысл этой теоремы ясен.

Пример. Найти вертикальные асимптоты функции .

Очевидно, что значения х₀, определяющие вертикальные асимптоты, лежат среди точек разрыва этой функции. Таких точек две: х₁= –1, x₂= +1.

, .

Поэтому функция имеет две вертикальные асимптоты х= –1, x=+1 (рис. 23).

Теорема (о наклонной асимптоте). Прямая y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой функции y=f (x) в том и только том случае, когда существуют (конечные) пределы

и . (5.3)

Пример. Найти асимптоты гиперболы .

Эта гипербола состоит из двух графиков функций .

Рассмотрим случай положительного корня. Для правой асимптоты

= =

= .

Следовательно, правая асимптота имеет вид

Аналогично проверьте, что левая асимптота

Схема исследования и построения графика функции

Чтобы исследовать функцию y=f (x) и построить ее график, действия рекомендуется проводить в следующем порядке.

1. Нахождение области определения функции. Исследование на четность, нечетность, периодичность. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.

2. Исследование функции на непрерывность. Вычисление пределов функции при , стремящемся к границам области определения и к точкам разрыва.

3. Нахождение асимптот функции.

4. Вычисление f ' (x) и исследование ее знаков. Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов.

5. Вычисление f ''(x) и исследование ее знаков. Нахождение интервалов направления выпуклости и точек перегиба.

6. Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.

7. Построение графика функции с учетом ее асимптот и таблицы. При необходимости можно вычислить промежуточные значения функции.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Функция определена в области D=(-,0)  (0, ). С осями координат график не пересекается, так как при х=0 она не определена и f(x)>0 xD. Функция не является четной, нечетной и периодичной.

2. Функция непрерывна в своей области определения, х₀=0 – ее точка разрыва.

Следовательно, прямая х=0 – вертикальная асимптота

3. , . Поэтому прямая y= =1 является правой и левой наклонной асимптотой функции.

4. Знаки этой производной следующие (рис.11).

Рис. 11

Поэтому на промежутках (-,0) и (0,) функция убывает.

Критических точек и экстремумов нет.

Знаки f ''(x) (рис.12) В промежутке функция выпукла вверх, в промежутках , она выпукла вниз. Критическая точка второго порядка является точкой перегиба функции.

o

6.

X	(-,- )	-	(- ,0 )	0	(0, +)
f '(x)				не 	
f ''(x)		0	+	не 	+
f (x)				не 

точка точка перегиба разрыва 2-го рода

8. Построение графика начинаем с асимптот и критических точек, затем пользуемся таблицей (рис.13).

Рис 13