![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 1.1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства
- •Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
- •§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
- •§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
- •§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •§ 1.5. Ранг матрицы
- •§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
- •§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
- •§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических
- •Контрольные вопросы
- •Литературы:
- •Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
- •§2.1. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного
- •§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства
- •Свойства смешанного произведения.
- •Литературы:
- •Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142
- •Тема 5. Введение в анализ. Функция
- •Множества. Логическая символика
- •Функция. Основные свойства функций
- •Способы задания.
- •1.3.Элементы поведения функции
- •Контрольные вопросы:
- •Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
- •Тема 6. Предел и непрерывность
- •1 Предел переменной величины. Предел последовательности.
- •2.Предел функции Дадим определения пределов функции при
- •3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •3.2 Бесконечно большие функции и их свойства
- •4.Непрерывность функции
- •4.1 Классификация точек разрыва
- •4.2 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Литературы:
- •Тема 7. Дифференциальное исчисление. Производная
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t) (рис.2).
- •1 Дифференцирование сложной функции
- •3. Таблица производных основных элементарных функций
- •4. Параметрически заданная функция и её производная
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Понятие дифференциала функции
- •2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
- •3. Приложения производной
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •2 Правило Лопиталя
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
- •Тема 9 Исследование поведения функции и их графиков.
- •Для этого определим интервалы знакопостоянства ее производной
- •Выпуклость и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?
2. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры.
3. Четность, нечетность функция
4. Период и периодичность функции
5. Операции над множествами, их свойства
6. Область определения произведения и суммы функции
Литература:
Основная [2] Глава 1 § 1.1-1.11 стр. 9-31 Глава 2 § 2.1-2.12 стр. 34-64
Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
[19] 2.1-2.4 стр. 138-162
Тема 6. Предел и непрерывность
1 Предел переменной величины. Предел последовательности.
Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен тот, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной х, становятся сколь угодно близкими к некоторому постоянному числу a - пределу этой переменной величины. Говорят, что переменная величина стремится, неограниченно приближается к постоянному числу а (своему пределу). Дадим более подробно соответствующее определение.
Переменная
величина х стремится к пределу a
(a
- постоянное
число), если абсолютная величина
разности
между х и а становится в процессе
изменения
переменной величины сколь угодно малой..
То же самое определение можно сказать и другими словами.
Определение. Постоянное число а называется пределом переменной величины х , если - абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой.
Тот факт, что число а, является пределом переменной величины, записывается следующим образом:
(
- первые буквы слова limes
- предел) или х
—>
a
Уточним,
что следует понимать под словами
"величина
становится сколь
угодно малой", имеющимися в
определении
предела. Зададимся произвольным
положительным числом
,
тогда, если, начиная
с некоторого момента в изменении
переменной величины х,
значения
сделаются,
и будут становиться меньше, чем это
.
Переменная
величина
стремится
к пределу
,
если для любого положительного
.
начиная с некоторого момента в изменении
переменной
,
выполняется неравенство
.
Определение
предела имеет простой геометрический
смысл: неравенство
означает, что
находится
в
-окрестности
точки
,
т.е. в интервале
(рис. 26). Таким образом, определение
предела в геометрической форме: число
является
пределом переменной величины
,
если для любой (произвольно малой)
-окрестности
точки
можно
указать
такой момент в изменении переменной
начиная с которого все ее значения
попадают
в указанную
-окрестность
точки a.
- окрестность
точки a
;
начиная с
некоторого (более отдаленного
в сравнении с первым) момента в изменении
,
все ее
значения попадут
в
- окрестность точки а
и т.д.
(рис. 1).
рис. 1
Введя определение предела переменной величины, мы постарались его подробно обсудить и расшифровать. Однако в этом определении осталась нераскрытой одна, весьма существенная, деталь; что следует понимать под словами "начиная с некоторого момента в изменении переменной величины "? Это ясно тогда, когда процесс изменения переменной протекает во времени: начиная с некоторого момента (времени). Но не всегда мы имеем дело с переменными величинами, изменение которых протекает во времени. Как же быть в этих случаях? Выход состоит в расшифровке этого места в общем определении предела переменной специфическим образом для каждого типа переменных величин: по-своему для последовательностей, по-своему для функций и т.д.
Предел последовательности. Прежде всего необходимо вспомнить определение последовательности: если все значения, принимаемые переменной величиной х, можно занумеровать помощью всевозможных натуральных чисел х},х2,...хп,..., причем значение с большим номером принимается после значения с меньшим номером, то говорят, что переменная х пробегает последовательность значений хх,х2,...хп ...; или просто, что имеется последовательность (числовая последовательность).
Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой =N и ЕR.
Она обозначается
символом
,
где
,
или короче,
.
Число
,
зависящее от n, называется n
–ым членом
последовательности. Расставив значения
последовательности по порядку номеров,
получаем, что последовательность можно
отождествить со счётным набором
действительных чисел, т. е.
.
Примеры:
а) Последовательность
является постоянной и состоит из равных
чисел (единиц):
;
б)
.
Для неё
в)
г)
.
Для последовательностей содержащееся в общем определении предела переменной высказывание "начиная с некоторого момента в изменении " должно означать - "начиная с некоторого номера", так как члены с большими номерами следуют (по определению последовательности) за членом с меньшим номером. Итак, мы получаем следующее определение предела последовательности:
Определение.
Число а
называется пределом
последовательности
,
если для любого числа
найдётся число
,
что все числа
,
у которых
,
удовлетворяют неравенству
.
Соответствующее обозначение
.
.
Неравенство
можно также записывать в виде
или
.
В
этих
записях подчеркнуто, что величина хп
становится
сколь угодно мало отличимой от a
, когда
номер члена
неограниченно
возрастает. Геометрически определение
предела последовательности
означает следующее: для сколь
угодно малой
-окрестности
числа
а
найдется
такой номер N, что все члены последовательности
с большими, чем
N,
номерами
попадают в эту окрестность, вне
окрестности оказывается лишь конечное
число начальных членов последовательности
(рис. 2). Это все или некоторые
из членов
.
x1 x2 xN+1 a xN+2 xN x3
Рис. 2
Число
в
нашем
определении зависит от
:
N
=
N(
)
.
Как говорилось ранее, определение
предела следует понимать в развитии, в
динамике,
в движении:
если мы возьмем другое, меньшее значение
для
,
например
то
найдется, вообще говоря, другой номер
Nx
>
N,
такой,
что неравенство
,
выполняется при всех
.
Будем записывать определение предела с помощью логических символов (кванторов). Определение предела последовательности с помощью кванторов выглядит так:
В рассмотренных выше примерах предел имеют последовательности а) и г), а последовательности б) и в) пределов не имеют.
Пример. Доказать,
что
.
Зададим произвольное
.
В соответствии с определением мы должны
найти такое число
,
что
выполняется неравенство
.
Решим это неравенство
относительно
.
Получим
.
В качестве
берем любое целое
больше
.
Итак, для произвольного найдено число , что выполняется неравенство
.
Рис. 3
Это и означает по определению, что (Рис. 3) .