- •§ 1.1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства
- •Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
- •§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
- •§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
- •§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •§ 1.5. Ранг матрицы
- •§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
- •§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
- •§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических
- •Контрольные вопросы
- •Литературы:
- •Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
- •§2.1. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного
- •§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства
- •Свойства смешанного произведения.
- •Литературы:
- •Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142
- •Тема 5. Введение в анализ. Функция
- •Множества. Логическая символика
- •Функция. Основные свойства функций
- •Способы задания.
- •1.3.Элементы поведения функции
- •Контрольные вопросы:
- •Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
- •Тема 6. Предел и непрерывность
- •1 Предел переменной величины. Предел последовательности.
- •2.Предел функции Дадим определения пределов функции при
- •3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •3.2 Бесконечно большие функции и их свойства
- •4.Непрерывность функции
- •4.1 Классификация точек разрыва
- •4.2 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Литературы:
- •Тема 7. Дифференциальное исчисление. Производная
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t) (рис.2).
- •1 Дифференцирование сложной функции
- •3. Таблица производных основных элементарных функций
- •4. Параметрически заданная функция и её производная
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Понятие дифференциала функции
- •2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
- •3. Приложения производной
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •2 Правило Лопиталя
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
- •Тема 9 Исследование поведения функции и их графиков.
- •Для этого определим интервалы знакопостоянства ее производной
- •Выпуклость и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
Функция. Основные свойства функций
Переменная величина, характеризующая какой-то процесс, обычно возникает не индивидуально, а в связи с другими переменными величинами. Дело в том, что процессы, протекающие в окружающем мире, являются достаточно сложными и характеризуются многими переменными величинами, связи между которыми составляют закономерности, проявляющиеся в ходе данного процесса. Кроме того, любой процесс происходит не изолированно, а во взаимодействии с другими процессами.
Пример. Состояние газа при фиксированной температуре характеризуется давлением и объемом , занятым газом. Эти переменные величины связаны зависимостью , где - постоянная (закон Бойля-Мариотта).
Математическую основу изучения связей между переменными величинами составляет понятие функциональной зависимости переменных величин или понятие функции.
Определение. Функцией f с областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент .
Буква (или ) употребляется для обозначения функции чаще других, так как является пер-
вой буквой слова "funktion" - "функция". Иногда функции записываются и так: ; и т.д. При таких записях как бы "экономят" букву: и значение функции, и закон соответствия обозначают одной буквой. Понятие функции является основным понятием математического анализа. Что надо знать, чтобы была задана функция? Прежде всего, должна быть известна область значений аргумента . Эта область значений аргумента называется областью определения функции. Затем мы должны знать, как по любому значению из области определения находится соответствующее ему значение
. Правило , согласно которому по любому значению из области определения находится соответствующее этому значение , называется законом соответствия для данной функциональной зависимости.
Таким образом, для того чтобы функция была определена, надо знать: а) область определения; б) закон соответствия. Обычно функция задается аналитически - какой-нибудь формулой. Иногда закон соответствия задается разными формулами на разных участках ее области определения.
Примеры
1) Если D - множество всех студентов КазНТУ, а. Е -множество всех его институтов, то в качестве функции можно взять соответствие каждому студенту института у, на котором он учится.
2) Пусть D - множество всех векторов в пространстве, а .
Функция сопоставляет каждому вектору D его модуль у Е .
3) Площадь круга радиуса : Область определения этой функции , т.е. ; закон соответствия задан формулой .
4)
Область определения этой функции - отрезок ; закон соответствия задан разными формулами на разных участках: при и при .
5) . Область определения [0;4]. Область значений [0;2].
Способы задания.
а) Табличный. Функция может быть задана в виде таблицы.
Например, пусть температуру Т воздуха измеряют через каждый час. Тогда каждому моменту времени t= 0,l,...,24 соответствует определенное число (таблица 1):
Таблица 1
t
|
0
|
1
|
2
|
...
|
24
|
Т
|
Т
|
T
|
Т
|
...
|
T24
|
Таким образом, получена функция , определённая на множестве целых чисел от 0 до 24, заданная таблицей. Этот способ не даёт полной характеристики функции, поскольку в таблицу часто невозможно внести все точки из области определения функции.
Например,
Таблица 2
-
х
–1
0
1
у
1
0
1
соответствует и функции и .
б) Графический. Графиком функции называется множество точек (х,у) плоскости таких, что и . График даёт наглядное представление о характере поведения функции.
П усть задана функция . Возьмем на плоскости систему декартовых координат XOY. Рассмотрим множество точек на плоскости , абсциссами которых являются значения аргумента , а ординатами -соответствующие значения функции . Множество называется графиком функции .
y Г
0 x
Рис. 6
Построение графика функции дополняет аналитический {или какой-нибудь другой) способ задания функции, так как делает наглядным ход ее изменения. Во многих технических устройствах график функции возникает и как самостоятельный способ задания функции. Приборы вычерчивают график зависимости одной величины от другой (чаще всего от времени).
в) Аналитический. Аналитическим способом, т. е. с помощью одной формулы можно задавать только элементарные функции. Это самый универсальный способ задания функции, из которого можно получить и таблицу и график.