- •§ 1.1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства
- •Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
- •§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
- •§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
- •§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •§ 1.5. Ранг матрицы
- •§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
- •§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
- •§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических
- •Контрольные вопросы
- •Литературы:
- •Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
- •§2.1. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного
- •§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства
- •Свойства смешанного произведения.
- •Литературы:
- •Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142
- •Тема 5. Введение в анализ. Функция
- •Множества. Логическая символика
- •Функция. Основные свойства функций
- •Способы задания.
- •1.3.Элементы поведения функции
- •Контрольные вопросы:
- •Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
- •Тема 6. Предел и непрерывность
- •1 Предел переменной величины. Предел последовательности.
- •2.Предел функции Дадим определения пределов функции при
- •3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •3.2 Бесконечно большие функции и их свойства
- •4.Непрерывность функции
- •4.1 Классификация точек разрыва
- •4.2 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Литературы:
- •Тема 7. Дифференциальное исчисление. Производная
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t) (рис.2).
- •1 Дифференцирование сложной функции
- •3. Таблица производных основных элементарных функций
- •4. Параметрически заданная функция и её производная
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Понятие дифференциала функции
- •2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
- •3. Приложения производной
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •2 Правило Лопиталя
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
- •Тема 9 Исследование поведения функции и их графиков.
- •Для этого определим интервалы знакопостоянства ее производной
- •Выпуклость и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t) (рис.2).
Рис. 2
Тогда за промежуток времени от до она проходит путь
,
и средняя скорость точки на промежутке равна . Мгновенная скорость точки в момент равна пределу при .
.
Итак, мгновенная скорость точки в момент равна производной от пути, проходимого этой точкой по времени при . Это и есть механический смысл производной.
1.2.Геометрический смысл производной. Через две точки и на графике функции проведём прямую. Эта прямая называется секущей к графику функции (рис.3). Её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла наклона к оси Ох равен
. (1)
Здесь может быть как положительным, так и отрицательным.
Y
B
D
A
С
0 X
Рис. 3
Определение. Касательной к графику функции в точке называется прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через точку при .
Другими словами, касательная в точке - это прямая, проходящая через , угловой коэффициент которой
.
Если существует, то из (1) следует, что
.
В этом случае график функции в точке имеет касательную.
Таким образом, есть угловой коэффициент касательной к графику в точке (геометрический смысл производной).
Уравнение этой касательной имеет вид
Если не существует, то касательной к графику функции в точке провести нельзя (например, при ).
Примеры непосредственного вычисления производных. Основные правила дифференцирования.
Вычислим производные некоторых основных элементарных функций, исходя из определения производной.
Постоянная функция .
.
Показательная функция
.
(см. эквивалентные б.м., 60).
В частности, .
Степенная функция .
(см. эквивалентные бесконечно малые 70 ,).
В частности,
.
Логарифмическая функция .
В частности, .
5. Тригонометрические функции .
Аналогично .
Основные правила дифференцирования.
Теорема 1. (правила дифференцирования суммы, произведения и частного). Если функции и дифференцируемы в точке x, то сумма, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:
1.
2.
3. .
Примеры:
Самостоятельно проверьте, что .
Производная сложной функции и обратной функций