Выпуклость и точки перегиба

Пусть функция y=f (x) дифференцируема в (a,b).

Определение. Функция y=f (x) называется выпуклой вниз (вверх) в интервале (a,b), если для любого x₀(a,b) значение функции в х(a,b) не меньше (не больше) соответствующей ординаты касательной к графику функции, проведенной в точке (x₀, f (x₀)) (рис.5).

Теорема. Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в (a,b). Эта функция выпукла вниз (вверх) на этом интервале тогда и только тогда, когда f ''(x)0 (f ''(x) 0) x(a,b).

1) Пусть y = f (x) выпукла вниз на (a,b), тогда y_ф-y_k  0 и f ''(c₁)  0. Перейдем к пределу при х x₀, получаем, в силу непрерывности f ''(x), что

2) Пусть f '' (x) 0, x(a,b), тогда получаем, что y_ф–y_k0, x₀, х(a,b), т.е. эта функция выпукла вниз.

Аналогично рассмотрите случай функции, выпуклой вверх.

Пример. Гипербола y=1/x в интервале (0, +) выпукла вниз, так как , x₀ (0, +), на интервале (–, 0) она выпукла вверх, так как , x (–, 0).

Определение. Точка х₀ называется точкой перегиба для функции y = f (x), если в некоторой окрестности этой точки график функции лежит по разные стороны от касательной к графику, проведенной в точки х₀, т.е. для х>x₀, y_ф-y_k  0, а для х < x₀, y_ф-y_k  0 или наоборот. Точку х₀, в которой имеется вертикальная касательная, называют точкой перегиба, если направления выпуклости функции по разные стороны от х₀ противоположны (рис.6).

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба)

Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в х_0. Тогда → если → → точка → перегиба →то или не существует.

Такие точки х₀ , в которых f (x₀) непрерывна, а f "(x₀)=0 или не существует, называются критическими точками второго порядка.

а), б)x₀-точка перегиба, в)x₁-не точка перегиба

Пример. У функции y=x⁴ точка x₀=0 является критической второго порядка, так как f ''(x)=12x² и f ''(0)=0. Однако эта точка не является точкой перегиба, так как f ''(x)0 и функция всюду выпукла вниз (лежит выше касательной).

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция y=f (x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в x₀, где x₀ – критическая точка второго порядка. Тогда, если при x<x₀ и x>x₀, f ''(x) имеет разные знаки, то x₀ – точка перегиба этой функции. Если же при x<x₀ и x>x₀, знаки f ''(x) совпадают, x₀ – не точка перегиба.

Итак, чтобы найти точки перегиба функции, необходимо найти все ее критические точки второго порядка и исследовать каждую из них с помощью достаточного условия точки перегиба.

Пример. Найти направление выпуклости и точки перегиба функции

Вычислим

f ''(x) не существует при х₀=0, для остальных х, f ''(x) в нуль не обращается, т.е. х₀=0 – единственная критическая точка второго порядка. Для х(0,+), f ''(x)<0, поэтому х₀=0 точка перегиба с вертикальной касательной, так как f '(x) б.б. при х0. На промежутке (-, 0), направлена выпуклостью вниз, а на промежутке (0,+) она направлена выпуклостью вверх (рис.7 ).