3. Таблица производных основных элементарных функций

Эту таблицу необходимо знать наизусть.

Таблица

С помощью этой таблицы и правил вычисления производных можно вычислить производную любой элементарной функции.

4. Параметрически заданная функция и её производная

Функцию иногда удобно записывать в параметрическом виде

Таким образом описывается движение точки на плоскости в механике (t– время, x, y – координаты точки).

Пример. Функция, графиком которой является полуокружность радиуса имеет параметрическую запись

Если положить , то получаем всю окружность , которую нельзя задать с помощью графика одной функции.

Теорема. Пусть функция задана в параметрическом виде

где  и  определены в окрестности . Тогда, если производные и существуют и , то функция дифференцируема в точке и

.

Пример. Кривая, являющаяся траекторией движения точки на ободе колеса радиуса а, катящегося по оси ОХ, называется циклоидой (рис.4.10). Её параметрические уравнения:

Эта кривая не является графиком никакой элементарной функции, поэтому производную от этой функции можно вычислить только в параметрическом виде

.

Рис. 9

Например, при ,

т.е. угол наклона касательной к графику функции в этой точке равен .

Контрольные вопросы:

1.Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?

2.Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите пример.

3.Теорема о производной обратной функции.

4. Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.

5.Сформулируйте определение дифференциала функции. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции?

6. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?

Литература:

Основная [2] Глава 4 § 4.1-4.8 стр. 127-150

[19] 3.1-3.2 стр. 180-188

[18] § 9.1-9.8 стр. 235-265

[20] § 9.1-9.8 стр. 157-187

Тема 8. Дифференциал функции

1. Понятие дифференциала функции

Определение. Если приращение функции в точке можно представить в виде , где - число, а - б.м. при , то величина называется дифференциалом функции в точке (главной частью приращения).

Теорема (о дифференциале). Для того, чтобы функция имела дифференциал в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная , при этом . (т.е. ).

Из этой теоремы становится ясным, почему существование производной у функции и существование дифференциала называются одним словом- дифференцируемость.

Пример: Пусть y=ax+b, тогда , в частности . Поэтому дифференциал функции обозначают в виде , а её производную записывают как отношение дифференциалов

.

Выясним геометрический смысл дифференциала. Поскольку то . Поэтому равен приращению координаты касательной, проведённой к графику функции в точке при приращении аргумента (рис.). Приращение функции DB складывается из дифференциала ВС и б.м. величины высшего порядка малости по сравнению с . Если в соотношении

,

пренебречь этой величиной, то получаем формулу для приближенного вычисления значений функции в точке , .

Y

D

C

A

B

0 X

Рис 1

Пример. Вычислить приближенно .

Имеем

.

Правила вычисления дифференциала непосредственно следуют из правил вычисления производных.

Пусть функции и дифференцируемы в точке, тогда

1. , где с – число.

2. .

3. , если .

4. Если функция дифференцируема в точке x, а в соответствующей точке u, то для сложной функции ,

.

Это правило называют инвариантностью формы дифференциала. Для функции дифференциал , как в случае, когда u- независимая переменная, так и в случае, когда есть функция другой переменной x.