2 Правило Лопиталя

Это правило дает возможность вычислять пределы дифференцируемых функций вида или с использованием производных.

Теорема. Пусть и две б.м. или б.б. при функции, дифференцируемые в и пусть и в . Тогда, если существует , то существует и они равны:

= .

Аналогичные утверждения справедливы для , , , , , а также для случая, когда является б.б.

Примеры.

1. ;

2. Если в результате применения правила Лопиталя получается неопределенность вида и , то это правило можно применить несколько раз:

.

К пределам других видов также можно применять правило Лопиталя, предварительно преобразовав выражение к виду или .

1. Произведение б.м. на б.б. функцию , т.е. вида , преобразуется к виду

(вида ) или (вида ).

Затем применяется правило Лопиталя.

Пример.

.

2. Разность двух б.б. функций вида преобразуется, например, к виду

к этому выражению применяется правило Лопиталя.

Пример.

= .

3. Функция типа или записывается в виде

,

затем вычисляется типа .

Если – число, то .

Если = , то .

Если , то .

Пример. Вычислим , для этого вычислим предел:

,

Контрольные вопросы:

1.Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.

2. Инвариантность формы первого дифференциала

3. Формула приближенного вычисления значения функции

4. Правило нахождение производных высшего порядка. Примеры

5. Теоремы Ролля, и ее геометрический смысл

6. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл

Литература:

Основная [2] Глава 4 § 4.1-4.8 стр. 151-178, [19] 3.3-3.6 стр. 191-209, [18] §10.1-10.4 стр. 265-273

[20] §10.1-10.4 стр. 184-192

Тема 9 Исследование поведения функции и их графиков.

Определение. Функция называется строго возрастающей (убывающей) в интервале (a,b),если выполняется (или ) (сравните с понятием монотонного возрастания и убывания).

Следующая теорема позволяет найти интервалы возрастания и убывания функций с помощью ее производной.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема в (a,b):

1. Если f(x) монотонно возрастает в (a,b) , то , .

2. Если , , то f(x) монотонно возрастает в (a,b).

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций. Итак, в интервалах возрастания или убывания функции знак производной не меняется.

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции

y = x³ – 3x² + 1.

Для этого определим интервалы знакопостоянства ее производной

.

Этот квадратный трехчлен имеет корни x₁=0, x₂=2, поэтому при и в этом промежутке функция y = x³ – 3x² + 1 строго убывает.

При , f'(x)>0 и в этих промежутках функция строго возрастает. Так как f(0)=1 и f(+2)=  3, то эскиз графика функции имеет вид (рис.1).

Вспомните теперь определение экстремальных точек функции.

Определение. Точка x₀ , в которой f(x₀) непрерывна, а производная функции y=f(x) равна нулю или не существует, называется критической точкой этой функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть x₀ – экстремальная точка функции y=f(x), тогда x₀ – критическая точка этой функции.

Пример . Функция y = x³ имеет критическую точку x₀=0, так как это единственное решение уравнения f '(x)=3x²=0.

Однако экстремальных точек у этой функции нет, y=x³ строго возрастает на всей числовой оси.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна в окрестности U(x₀) критической точки x₀ и дифференцируема в U(x₀) кроме быть может самой точке x₀. Тогда

1) если в U(x₀) f ' (x)>0 при х<x₀ и f '(x)<0 при x>x₀ , то x₀  точка максимума;

2) если в U(x₀) f ' (x)<0 при х<x₀ и f '(x)>0 при x>x₀ , то x₀  точка минимума;

3) если в U(x₀) f ' (x)>0 или f '(x)<0 при x x₀ , то в x₀  экстремума нет.

Итак, чтобы определить экстремальные точки функции необходимо найти все ее критические точки и установить знаки производной в интервалах между ними. Затем согласно достаточному условию экстремума исследуются найденные критические точки. Точки непрерывности функции, где производная меняет свой знак с "плюса" на "минус", являются точками максимума; точки, где производная меняет свой знак с "минуса" на "плюс", являются точками минимума; точки, где производная свой знак не меняет, экстремальными не являются.

Пример. Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремумы.

Производная функции

не существует при x₁=0.

Из уравнения получаем вторую критическую точку . Методом интервалов определяем знаки f '(x) (рис.2).

Функция всюду непрерывна; согласно достаточному условию экстремума x₁=0 есть точка максимума, а точка минимума. В интервалах (–, 0) и эта функция возрастает, а в интервале она убывает. Результаты исследования занесем в таблицу

x	(–,0)	0	(0, )		( , +)
f '(x)	+	не 	–	0	+
f (x)		0 max		min

Построим теперь эскиз графика функции, учитывая, что при х0 f '(x) является бесконечно большой (рис.3).

Приведем еще один достаточный признак экстремума, использующий вторую производную функции.

Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и f ''(x₀) существует. Тогда, если f ''(x₀)>0, то x₀ - точка минимума, а если f ''(x₀)<0, то x₀ - точка максимума.

Пример . Найти экстремальные точки функции y=2sinx+cos2x.

В силу ее периодичности достаточно рассмотреть отрезок [0,2 ]. Найдем критические точки из уравнения

f ' (x)=2cosx–2sin2x=0 cosx– 2sinxcosx = 0  cosx(1 – 2sinx)=0.

Из уравнения cosx=0 получаем , , а из уравнения 1 – 2sinx=0  , .

Вычислим f '' (x)=–2sinx–4cos2x.

, , , .

Итак, точки , являются точками минимума, а , точками максимума (kZ). График этой функции имеет вид (рис.4).

С помощью исследования экстремумов можно находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Поскольку может достигаться или на концах отрезка [a,b] или в одной из точек максимума, то для его нахождения необходимо найти все максимумы функции в [a,b], f(a), f(b) и затем из этих чисел выбрать наибольшее:

= max{f(a), f(b), f(x_i): x_i(a,b) точки максимумa}.

Аналогично

= min{f(a), f(b), f(x_i): x_i(a,b) точки минимумa}.

Пример Найти и для f(x)=x³–3x+3.

(x)=3x² – 3 существует для всех х. Из уравнения 3х² – 3=0 получаем критические точки х_1,2=1, х_1,2[–2,3], f ''(x)=6x, , х₁=1 – точка минимума.

f '' (–1)= –6<0  x₂= –1 точка максимума. Поэтому

f(-2)=1, f(3)=27-9+3=21, f(-1)=-1+3+3=5, f(1)=1-3+3=1

= max{f (-2), f (3), f (-1)} = max{1,21,5} = 21.

= min{f (-2), f (3), f (1)} = min{1,21,1} = 1.