- •§ 1.1. Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства
- •Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
- •§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
- •§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
- •§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •§ 1.5. Ранг матрицы
- •§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
- •§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
- •§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических
- •Контрольные вопросы
- •Литературы:
- •Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
- •§2.1. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного
- •§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:
- •Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
- •§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства
- •Свойства смешанного произведения.
- •Литературы:
- •Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142
- •Тема 5. Введение в анализ. Функция
- •Множества. Логическая символика
- •Функция. Основные свойства функций
- •Способы задания.
- •1.3.Элементы поведения функции
- •Контрольные вопросы:
- •Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
- •Тема 6. Предел и непрерывность
- •1 Предел переменной величины. Предел последовательности.
- •2.Предел функции Дадим определения пределов функции при
- •3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •3.2 Бесконечно большие функции и их свойства
- •4.Непрерывность функции
- •4.1 Классификация точек разрыва
- •4.2 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Литературы:
- •Тема 7. Дифференциальное исчисление. Производная
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь s(t) (рис.2).
- •1 Дифференцирование сложной функции
- •3. Таблица производных основных элементарных функций
- •4. Параметрически заданная функция и её производная
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Понятие дифференциала функции
- •2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •Получаем формулы для вычисления такого дифференциала:
- •3. Приложения производной
- •1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •2 Правило Лопиталя
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
- •Тема 9 Исследование поведения функции и их графиков.
- •Для этого определим интервалы знакопостоянства ее производной
- •Выпуклость и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Контрольные вопросы:
- •Литература:
1 Дифференцирование сложной функции
Пусть функция дифференцируема в точке , , функция дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в и её производная равна .
Примеры:
Вычислить .
Запишем, , где . Поэтому
.
.
2. Гиперболические функции и их производные: Гиперболический синус область определения D=R, область значений E=R (рис.4).
Y
0 X
Рис. 4
Гиперболический косинус
область определений D=R, область значений (рис.5).
Гиперболический тангенс область определения D=R, область значений E=(-1,1) (рис.).
0 X
Рис.5
Y
X
Рис.6
Г иперболический котангенс область определения область значений (рис).
-
Рис.7
Соотношения, связывающие эти функции, подобны аналогичным соотношениям для тригонометрических функций, например:
Вычислим производные этих функций, используя правила вычисления производных
.
Самостоятельно проверьте, что
.
Обратная функция и её производная
Пусть функция имеет область определения и область значений .
Определение. Функция с областью определения E и областью значений называется обратной функции , если для и для .
В системе координат Оxy функции и имеют один и тот же график. Функции и имеют графики, симметричные относительно прямой .
Примерами взаимно обратных функций являются функции:
, где D=E=R для нечетного n, и для четного n.
, где .
.
.
.
Теорема. Если функция непрерывна в промежутке (a,b) (или ), то для того, чтобы у неё существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы была строго монотонна в (a,b), т.е. или .
Теорема. Пусть функция непрерывна в окрестности и имеет в ней обратную функцию . Тогда, если дифференцируема в точке и , то дифференцируема в точке и
.
Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что тангенсы углов наклона касательной к графику (или ) к осям Оx и Оy взаимно обратны (рис.8).
Y
0
X
Рис. 8
.
Пример
.
Здесь . Для .
Проверьте, что .
.