4.2 Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала (а, ), непрерывна в точке а справа и в точке слева.

Обозначение .

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть и принимает на его концах значения разных знаков (т. е. ), тогда найдется по крайней мере одна точка с в интервале (а, ) такая, что

Рис. 14

Пример. Рассмотрим функцию на отрезке , для неё . Однако это функция нигде не обращается в нуль. Теорема здесь не применяется, потому что эта функция имеет разрыв в точке , и . (рис.14).

Это даёт алгоритм приближенного решения уравнения , который называется методом половинного деления.

Пример. Уравнение имеет корень на интервале . В самом деле, непрерывна на и , , т. е. .

Рис.15

Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть

тогда .

Рис. 16

Эту теорему можно сформулировать и так: непрерывная на отрезке а,  функция принимает все промежуточные значения между и f( ).

Первая теорема Вейерштрасса. Если ., то она ограничена на этом отрезке, т. е. .

Пример. Функция непрерывна в интервале (0,1), но не ограничена на нём, так как

.

Поэтому слово “отрезок” в этой теореме существенно.

Определение. Наибольшим значением функции в промежутке  называется такое значение , , при котором для всех (обозначение ).

Аналогично вводится понятие наименьшего значения функции в  (обозначение ).

Пример. Функции в интервале (-1,1) не принимают ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Вторая теорема Вейерштрасса. Функция достигает в нём своих наибольшего и наименьшего значений.

Без доказательства (рис.17).

Рис. 17

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

2.Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

3.Основные теоремы о пределах функций.

4.Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел).

5.Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции.

6.Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

Литературы:

Основная [2] глава 3 § 3.3-3.10 стр. 86-126

[19] 2.5-2.7 стр. 162-180

[18] § 5.5-5.10 стр. 146-189

Тема 7. Дифференциальное исчисление. Производная

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Пусть в некоторой окрестности точки и в самой точке определена функция .

Определение: Приращением аргумента х в точке называется разность .

Определение. Приращением функции в точке называется разность

.

Это приращение зависит от двух аргументов и x. Геометрически x и f означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике при перемещении из точки в точку (рис.1).

Y

B

A

0 X

Рис.1

Пример. Если , то ,

т. е. при увеличении стороны квадрата, равной 1 на 0,1, его площадь возрастает на 0,21.

Используя понятия x, y, можно дать ещё одно определение непрерывности функции в точке , эквивалентное предыдущему.

Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точки и , то она называется непрерывной в точке .

В самом деле, этот предел означает, что

, т. е. .

Определение. Если существует предел

то это число называется производной функции в точке .

Эта производная обозначается также одним из следующих символов:

.

Этот предел можно записывать также в виде

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции, для этого из определения выразим f.

,

(где - б.м. при (свойство 3⁰ б.м. , модуль 3)).

Следовательно,

.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Пример. Функция всюду непрерывна, однако она не дифференцируема при , так как .

, а этот предел, как мы выше проверяли, не существует.