Математический анализ

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

3.1. Определение m-мерного евклидова пространства и области

Определение 3.1. Координатное пространство Am называется m-мерным евклидовым пространством Еm, если между любыми точками M′(x1′, x2′,... ,xm′) и M′′(x1′′, x2′′,...

,xm′′) координатного пространства Am определено расстояние ρ(М′,М′′) по формуле

ρ(M′,M′′)= (x1'' − x1| )2 + (x'2' − x|2 )2 +... + (x'n' − x|n )2 .

Определение 3.2. Множество {M} пространства Еm называется открытым множеством, если любая точка М(х1, х2,... хm) этого множества входит в него вместе со своей малой окрестностью.

Определение 3.3. Если каждая граничная точка множества {M} является точкой этого множества, то множество {M} называется замкнутым.

Определение 3.4. Множество {M} пространства Еm называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Определение 3.5. Открытое и связное множество {M} в пространстве Еm называется областью.

Приведем некоторые примеры множеств {M} точек евклидова плоскости и пространства.

1.(x-a)2+(y-b)2≤R2 – множество {M} точек евклидовой плоскости, называемой кругом радиуса R с центром в точке M0(a;b).

2.(x-a)2+(y-b)2<R2 – множество {М} точек евклидовой плоскости, казывается открытым кругом радиуса R – с центром в точке M0(a;b).

3.(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2≤R2 – множество {M} точек евклидова пространства, называемым шаром радиуса R с центром в точке M0(a;b;c).

4.(x1-x10)+(x2-x20)2+...+(xm-xm0)2≤R2 или ρ(М;M0)≤R – множество {M} точек m-

мерного евклидова пространства, называемым m-мерным щаром радиуса R с центром в

точке M0(x10, x20,...,xm0).

5. ρ(М;M0)=R – множество {M} точек m-мерного евклидова пространства, называемым m-мерной сферой.

3.2. Предел функции нескольких переменных

Пусть функция f(M)=f(x,y,z) определена в окрестности точки M0(x0,y0,z0) трехмерного евклидова пространства, кроме, быть может, самой этой точки.

Определение 3.6. Число b называется пределом функции f(M)=f(x,y,z) в точке

M0(x0,y0,z0) ( lim f(M ) = b ), если для любого ε>0 найдется δ>0 такое, что из неравенства

M →M 0

0<ρ(M,M0)<δ следует неравенство |f(M)-b|<ε, где

ρ(M, M0 )= (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 есть расстояние от точки М до точки M0. Заметим, что формально это определение совпадает с аналогичным определением

предела функции одной независимой переменной. Однако, на самом деле это не так. Ведь здесь для существования предела ставится более жесткое требование. На самом деле, тре-

80

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

буется, чтобы для любой последовательности точек М, стремящихся к М0 по произвольной кривой, существовал один и тот же предел.

Рассмотрим несколько примеров.

y→0

предела зависит от пути, по которому M→M0. Следовательно, предела от рассматриваемой функции не существует.

y→0

Таким образом, при стремлении M→M0 по разным путям (последовательности точек) получаем разные ответы, как в примере 1. Это означает, что рассматриваемый предел не существует.

Ниже перейдем к рассмотрению повторных пределов для функции двух независимых переменных f(x,y).

81

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Если при любом фиксированном у для функции f(x,y) существует предел при х→а, то этот предел, вообще говоря, будет зависеть от фиксированного у, т.е.

lim f (x, y)= ϕ(y).

x→a

Последнее и называется одним из повторных пределов функции f(x,y).

Другой повторный предел имеет вид

lim limf (x, y). (3.2)

x→a y→b

Вообще говоря, повторные пределы (3.1) и (3.2) равны при удовлетворении определенных условий.

Теорема 3.1. Пусть для функции f(x) удовлетворяются следующие условия: 1) существует двойной предел

lim f(x + y); (3.3)

x→a y→b

2) существует простой предел по х при любом фиксированном у:

lim f (x, y)= ϕ(y); (3.4)

x→a

3) существует простой предел по у при любом фиксированном х:

lim f(x, y) = ψ(y); (3.5)

x→b

y→0

82

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3.3. Непрерывность функций нескольких переменных

Определение 3.7. Функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если предельное значение этой функции в точке М0 существует и равно значению f(M0), то есть, если

Определение 3.8. Функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если для произвольного ε>0 можно указать δ>0, такое, что из неравенства 0<ρ(M,M0)<δ следует неравенство |f(M)-f(M0)|<ε.

Теорема 3.1. Для того, чтобы функция f(M)=f(x1, x2,..., xk,... ,xm) была непрерывной в точке M0(x10, x20,..., xk0,... ,xm0), необходимо и достаточно, чтобы приращение ∆f(M)

Отметим, что из условия непрерывности функции f(x1,x2,...,xk,...,xm) в точке М0 (см. (3.7)) вытекает непрерывность этой функции по каждой из переменных x1, x2,..., xk,... ,xm (см. (3.8)). Однако, из непрерывности функции f(M) в точке М0 по каждой из переменных x1, x2,..., xk,... ,xm не вытекает, вообще говоря, непрерывность функции f(M) в этой точке.

В конце этого пункта отметим, что все свойства непрерывных функций одной переменной сохраняются и для непрерывных функций нескольких переменных.

3.4. Частные производные функций нескольких переменных первого и высших порядков

Пусть функция U=f(x1, x2,..., xk,... ,xm) m независимых переменных определена в ε

окрестности точки M0(x10, x20,..., xk0,... ,xm0). Составим отношение ∆xk U , где

∆xk

83

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Заметим, что вычисление частной производной по одной из переменных хk производится по известным правилам вычисления производных функций одной независимой переменной в предположении, что при этом остальные переменные считаются постоянными.

Пример. Найти частные производные первого порядка функции двух независимых переменных U=arctg xy .

Решение.

x2,..., xk,... ,xm)), то естественно считать, что полученная функция может иметь производные по каждой из этих переменных. Если существуют эти производные, то они называются частными производными функции U=f(x1, x2,..., xk,... ,xm) второго порядка, т.е.

∂∂U =ϕ(x1, x2,..., xk,... ,xm), xk

k=1,2,..., m; l=1,2,... ,m.

Аналогично вводятся и понятия частных производных третьего, четвертого и т.д. порядков. Например, для функции трех независимых переменных U=f(x,y,z) они обозначаются символически следующим образом

Пример. Найти все частные производные функции двух независимых переменных U=x2y2 до третьего порядка включительно.

84

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Теорема 3.2. (достаточный признак равенства смешанных производных функции двух независимых переменных).

Пусть функция двух независимых переменных U=f(x,y) определена в открытой области D и в этой области существуют частные производные fx| , fy| , fxy| | , fyx| | , причем

смешанные производные fxy| | и fyx| | непрерывны в некоторой точке М0(х0,у0) области D. Тогда в этой точке М0 смешанные производные равны, т.е.

Доказательство. Составим выражение

H = f (x0 + h, y0 + k)− f (x0 + h, y0 )− f (x0 , y0 + k)+ f (x0 , y0 ), (3.13) hk

где h>0, k>0 для определенности и они настолько малы, что в области D содержится весь прямоугольник [x0, x0+h; y0, y0+k].

Если теперь ввести функцию

ϕ(x) = f(x, y0 + k)− f(x, y0 ) , (3.14) k

и следовательно является переменной функцией, то выражение (3.13) можно переписать в виде

Теперь пользуясь тем, что для функции ϕ(x) на сегменте [x0,x0+h] выполняются все условия теоремы Лагранжа о конечных приращениях, выражение (3.15) можем преобра-

85

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Теперь если в (3.19) перейти к пределу при h→0 и k→0 с учетом того, что по условию теоремы fxy| | и fyx| | непрерывные функции (можно перейти к пределу в аргументах

этих функций), то получим fxy| | (x0,y0)= fyx| | (x0,y0),

что и требовалось доказать.

3.5.Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных

Определение 3.11. Функция U=f(x1, x2, ..., xm) называется дифференцируемой в точке M0(x10, x20, ..., xm0), если ее полное приращение ∆U может быть представлено в виде

где Ai(i=1,2,...,m) некоторые не зависящие от ∆xi (i=1,2,...,m) числа, а αi(i=1,2,...,m) беско-

нечно малые при ∆хi→0 функции, равные нулю при ∆xi=0.

Если учесть, что |α1∆x1+...+αm∆xm| бесконечно малая более высокого порядка, чем

ρ = (∆x1 )2 +... + (∆x m )2 при ∆xi→0 (ρ≠0) (α1∆x1+...+αm∆xm=0(ρ)), то условия дифференцируемости (3.20) можно переписать в виде

Отметим, что если хотя бы одно из чисел Ai (i=1,2,...,m) не равно нулю, то A1∆x1+A2∆x2+...+Am∆xm называется главной линейной частью приращения ∆U.

Теорема 3.3. Если функция U=f(x1, x2, ..., xm) дифференцируема в точке M0(x10, x20,

..., xm0), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем

Теорема 3.4. (достаточные условия дифференцируемости)

∂U

Если функция f(x1, x2, ..., xm) имеет все частные производные ∂xi (i=1,2,...,m) пер-

вого порядка в некоторой окрестности точки M0(x10,x20,..., xm0) и все они непрерывны в точке М0, то указанная функция дифференцируема в точке М0.

86

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение 3.11. Главная линейная часть A1∆x1+A2∆x2+...+Am∆xm приращения ∆U дифференцируемой в точке М0 функции U=f(x1, x2, ..., xm) называется дифференциа-

Заметим, что если все Ai=0 (i=1,2,...,m) в (3.23), то dU=0. Если теперь договориться под dxi понимать ∆xi (i=1,2,...,m) и учитывать (3.22), то (3.23) принимает вид:

До сих пор мы рассматривали функцию U=f(x1, x2, ..., xm) m независимых переменных. Но встречаются случаи, когда эти m переменные в свою очередь зависят, например, от k независимых переменных t1,t2,...,tk формулами xi=ϕi(t1, t2, ..., tk) (i=1, 2, ..., m). Тогда мы имеем сложную функцию

U=f[ϕ1(t1, t2, ..., tk), ϕ2(t1, t2, ..., tk), ..., ϕm(t1, t2, ..., tk)].

Отметим, что вычисление частных производных функции U по независимым переменным tl(l=1,2,...,k), основывается на следующей теореме.

Теорема 3.5. Пусть функции xi=ϕi(t1, t2, ..., tk) (i=1, 2, ..., m) дифференцируемы в точке N0(t10, t20, ..., tk0), а функция U=f(x1, x2, ..., xm) дифференцируема в соответствующей точке M0(x10, x20, ..., xm0), где xi0=ϕi(t10, t20, ..., tk0) (i=1,2,...m). Тогда сложная функция

U=f(x1,x2, ..., xm) дифференцируема в точке N0 и ее частные производные по переменным tl (l=1, 2, ..., k) определяются формулами

∂U

(l=1,2,...,k), где все частные производные ∂xi (i=1, 2, ..., m) берутся в точке М0, а все част-

ные производные ∂xi (l=1, 2, ..., k) берутся в точке N0.

∂t l

Можно доказать что дифференциал первого порядка сложной функции U=f[ϕ1(t1, t2, ..., tk), ϕ2(t1, t2, ..., tk), ..., ϕm(t1, t2, ..., tk)] также вычисляется по формуле (3.24), где под dx1, dx2, ..., dxm подразумеваются выражения

(i=1, 2, ..., m).

Внешнее совпадение форм первого дифференциала в случаях функции U от m независимых переменных и сложной функции U называется инвариантностью формы первого дифференциала.

Пример. Пусть U=x2+y2, а x=U2V, y=V2U. Найти dU.

Решение. Согласно формулам (3.24) и (3.26), имеем

87

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Но

∂∂Ux = 2x = 2VU 2 , ∂∂Uy = 2y = 2UV2 , ∂∂Vx = U 2 ,

∂∂Ux = 2UV , ∂∂Vy = 2UV , ∂∂Uy = V2

и получим

dU=2U2V(U2dV+2UVdU)+2V2U(2UVdV+V2dU)=2VU2(U2+2V2)dV+2V2U(2U2+V2)dU.

3.6.Производная функции нескольких переменных по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим функцию трех переменных U=U(x,y,z) в некоторой окрестности точки

M0(x0,y0,z0). Через эту точку проведем ось l, единичный вектор l0 который будет иметь

координаты l0={cosα,cosβ,cosγ}, где α, β, γ есть углы между осью l и координатными осями 0x, 0y, 0z. На оси l возьмем точку М(х,у,z) и обозначим через lвеличину направленного отрезка M0M (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Так как x=x0+ lcosα,

y=y0+ lcosβ, (3.27)

z=z0+ lcosγ,

то имеем сложную функцию одной переменной l в виде

Определение 3.12. Производная функции (3.28) по переменной l в точке l=0 назы-

вается производной по направлению l функции U=U(x,y,z) в точке М0 и вычисляется так:

88

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

где i , j , k есть единичные векторы осей 0х, 0у, 0z.

Заметим, что с учетом (3.31) (3.30) можно переписать в виде скалярного произве-

дения векторовl 0 и gradu, т.е.

Далее рассмотрим дифференцируемую функцию z=f(x,y) двух независимых переменных, которая описывает некоторую поверхность в декартовой прямолинейной системе координат.

Определение 3.14. Плоскость π, проходящая через точку М0(x0,y0,z0) поверхности z=f(x,y), называется касательной плоскостью в этой точке, если угол ψ между этой плоскостью и секущей М0М, где M(x,y,z) любая точка на поверхности z=f(x,y), стремится к нулю, когда M→M0 (рис. 3.2).

z

h M

ψ

0

y

x

Рис. 3.2.

Можно показать, что из условия дифференцируемости функции z=f(x,y) в точке М0 вытекает существование касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке М0, уравнение которой имеет вид

89