Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3319 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ III. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.3.Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройных интегралов

всферической и цилиндрической системах координат

Вотдельных случаях может оказаться, что при замене переменных вычисление тройного интеграла может упроститься или стать вообще возможным. При изложении теории определенного интеграла и двойного интеграла мы обращались к проблеме замены переменных. Возможность такой замены и правила перехода к новым переменным под знаком тройного интеграла изложены ниже.

Пусть между точками областей ∆ и G установлено взаимно однозначное соответствие, выражаемое формулами

х = х (u,v,w),

y = y(u,v,w), (3.3) z = z (u,v,w),

где функции х (u,v,w), у (u,v,w), z(u,v,w) непрерывны вместе со своими первыми частными производными.

Тогда, как и в двумерном случае, доказывается, что между элементами объемов двух этих областей существует соотношение

	dxdydz = \|J(u, v, w)\|dudvdw ,					(3.4)
где якобиан J(u,v,w) вычисляется по формуле:
		∂x	∂x	∂x
		∂x	∂x	∂x
		∂u	∂v	∂w
	J (u, v, w) =	∂y	∂y	∂y	.	(3.5)
		∂u ∂v ∂w			.	(3.5)
		∂u ∂v ∂w
		∂z	∂z	∂z
		∂u ∂v ∂w
Итак имеем:
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) \| J (u, v, w) \| dudvdw.						(3.6)
(G)	(∆)

1. Рассмотрим, в частности, сферическую систему координат, которая весьма часто используется в астрономии, геодезии, картографии и других областях.

Рис. 3.2

180

РАЗДЕЛ III. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Тогда М(φ, θ, r) задаётся тремя координатами, смысл которых ясно виден на рис. 3.2. Нетрудно установить, что сферические координаты φ, θ, r меняются в пределах

0 ≤ r ≤ +∞,
0 ≤ ϕ ≤ 2π,	(3.7)

−π2 ≤ θ ≤ + π2

исвязаны с декартовыми прямоугольными координатами х, у, z соотношениями

х=rcosθcosφ,

y=rcosθcosφ, (3.8) z=rsinθ.

С учетом (3.8) из (3.5) можно вычислить якобиан перехода J(φ,θ,r) для сферической системы координат

	∂x
	∂r
J ( y,θ, r) =	∂y
	∂r
	∂z
	∂r

∂x ∂x ∂ϕ ∂θ ∂y ∂y ∂ϕ ∂θ ∂z ∂z

∂ϕ ∂θ

	cosθ cosϕ	− r cosθ sin ϕ	− r sinθ cosϕ	= r 2 cosθ
	cosθ cosϕ	− r cosθ sin ϕ	− r sinθ cosϕ
=	cosθ sin ϕ	r cosθ cosϕ	− r sinθ sin ϕ		(3.9)
	sinθ	0	r cosθ

2. Теперь рассмотрим цилиндрическую систему координат, где точка М описывается цилиндрическими координатами φ, r, z (рис. 3.3).

Рис. 3.3

181

РАЗДЕЛ III. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Здесь

x=r cosφ, y=r sinφ, z=z,

а якобиан перехода имеет вид

J =	cosϕ − r sin ϕ		0	= r .	(3.10)
	cosϕ − r sin ϕ		0
	sinϕ	rcosϕ	0
	0	0	1

Примеры

Пример 3.1. Вычислить τ = ∫∫∫xyzdxdydz , где область G ограничена поверхностями

(G)

z = 0,

z = xy,y = x2 ,

x = y 2 .

Решение:

1	X		XY	1	X		z 2	z=xy	1 1			3			X	3		1	1	3	y 4	y=	x
																						y=	x

J = ∫xdx ∫ ydy ∫zdz = ∫xdx ∫						y		dy =		∫x					∫ y		dy dx =		∫x				=
J = ∫xdx ∫ ydy ∫zdz = ∫xdx ∫						y		dy =		∫x					∫ y		dy dx =		∫x				=
	X 2				X 2		2		2 0									2 0			4	y=x2
0	X 2		0	0	X 2		2	z=0	2 0				X 2					2 0			4	y=x2
					=	1	∫1 (x5 − x11 )dx =				1			.
					=	8	∫1 (x5 − x11 )dx =				96			.
						8	0				96
Ответ:	1	.
Ответ:	96	.
	96

182

РАЗДЕЛ III. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пример 3.2. Вычислить J = ∫∫∫zdxdydz , где область G – верхний полушар радиуса

(G)

R с центром в начале координат.

Решение:

					2 π	R			R	2 −r2		1 2 π			R			2				2				1				2		r 2			r 4			R	πR 4
					2 π	R			R	2 −r2		1 2 π			R			2				2				1				2		r 2			r 4			R	πR 4
J = ∫∫∫zrdrdϕdz =. ∫dϕ∫rdr										∫zdz =			∫dϕ		∫rdr (R				− r				) =				2π R						−					=			.
												2 0														2					2			4					4
(G)				0		0				0					0											2					2			4				0	4
(G)				0		0				0				.	0																							0
Ответ:			πR	4										.
Ответ:			πR	.
			4
																									x = 0,
																											= 0,
Пример 3.3. Вычислить J = ∫∫∫x													2	yzdxdydz , где G:											y		= 0,
Пример 3.3. Вычислить J = ∫∫∫x														yzdxdydz , где G:
											(G)														z		= 0,
																											+ y + z − 2 = 0.
																									x		+ y + z − 2 = 0.
Решение:
			2−X −y																		2		(2 − x)4						(2 − x)4							2(2 − x)4
2	2	2−X				2	2		2−X		(2 − x − y)				2		1		2	x								+						−						dx =
2	2	2−X				2	2		2−X		(2 − x − y)				2		1		2	x								+						−						dx =
J = ∫x		dx ∫ydy ∫zdz = ∫x						dx		∫ y						dy =			∫							2					4						3
J = ∫x		dx ∫ydy ∫zdz = ∫x						dx		∫ y		2				dy =	2		∫							2					4						3
0		0	0			0				0		2					2		0
										=	1	∫2 x2 (2 − x)4 dx =								16				.
										=	24	∫2 x2 (2 − x)4 dx =								315				.
											24	0								315
Ответ:			16		.
Ответ:			315		.
			315

183

РАЗДЕЛ III. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пример 3.4. Вычислить J = ∫∫∫x2 dxdydz , где G – шар:

(G)

х2 + y2 + z2 ≤ R2.

Решение: Перейдём к сферической системе координат. У нас в области G: 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π

J = ∫∫∫r 4 sin3 θcos2 θdrdϕdθ = ∫π sin3 θdθ2∫πcos2 ϕdϕ ∫R r 4 dr =

			(G)						0			0	0
	R5	π		3		1		2π	πR5	π	2			π4R5

=		∫sin			θdθ ϕ +		sin2ϕ	=		∫(cos		θ −1)d(cosθ) =		15	.
	10					2			5
		0						0		0

Ответ: π415R5 .

Пример 3.5. Вычислить J = ∫∫∫z x 2 + y 2 dxdy , где G – область, ограниченная ци-

(G)

линдром х2 + y2 =2х и плоскостями у=0, z=0, z=a. (а > 0).

Решение: Проведем вычисление в цилиндрической системе координат.

Значит в области G: 0 ≤ r ≤ 2cosφ, 0 ≤ φ ≤π2 , 0 ≤ z ≤a.

	π				π
		2 cos ϕ	4		∫2 cos3 ϕdϕ =	8a 2
J = ∫∫∫zr2drdϕdz = ∫2 dϕ ∫r 2 dr =			4	a 2		8a 2	.
J = ∫∫∫zr2drdϕdz = ∫2 dϕ ∫r 2 dr =			3	a 2		9	.
(G)	0	0	3		0	9

Ответ: 8a92 .

184

РАЗДЕЛ III. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Тест 3.

Вычислить тройные интегралы по заданному объему V:

1. J = ∫∫∫ 4 − x 2 − y 2 − z 2 dxdydz ,

		(V )
a)	π	−1	.	б)	π	+ 3 .
	6				6
			≤ x ≤ a
		0	≤ x ≤ a
2. V: 0 ≤ y ≤ b,				J = ∫∫∫(x 2 + y2 + z2
				(V)
			≤ z ≤ c
		0	≤ z ≤ c

	z ≥ 0,
V:			+ y 2		+ z 2 ≤1.
	x2		+ y 2		+ z 2 ≤1.
в)	π	+	2	.	г) 2	π	−	3
в)		+		.	г) 2		−		.
	2		8			6		8
	2		8			6		8

)dxdydz.

5 5	5			abc	(a	2	+ b	2	+ c	2	) .
a) (α +b +c		).	б)
a) (α +b +c		).	б)	4
			1

в) abc3 (a 2 + b2 + c2 ) .

г)	(a 2 + b2					+ c	2 )	2		abc .
г)					2					abc .
					2
					+ y2		+ z2 =1,
			x 2		+ y2		+ z2 =1,
					=	∫∫∫xyzdxdydz ,
3. V: J					=	∫∫∫xyzdxdydz ,
						(V)

			x = 0, y = 0, z = 0.
a)	1		.				б)		1		.			в)			3	.		г) 1.
a)	36		.				б)		48		.			в)	8			.		г) 1.
	36								48						8
			z = xy,
										J = ∫∫∫xy2 z3dxdydz.
			y = x,							J = ∫∫∫xy2 z3dxdydz.
4. V:												(V)
			x =1,


			z = 0,
a)		1		.			б)		1			.		в)		2			.	г)		3			.
	364								256						115						250
5. V: x2+y2+z2 ≤1, J = ∫∫∫														1 + (x 2 + y 2						+ z 2 )	3		dxdydz .
5. V: x2+y2+z2 ≤1, J = ∫∫∫														1 + (x 2 + y 2						+ z 2 )	2		dxdydz .
												(V )
a)		1				1	.					б)	8	π(2 2 −1) .						в)			π	(2 3		− 2) .	г)	7π	.
		2 −
		2 −											9								9							8
	π					2							9								9							8

185

РАЗДЕЛ III. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

							1							2						2
6. V:		z			=				(x							+ y					)	,	J = ∫∫∫				(x		2	+y		2	)dxdydz .
		z			=		2		(x							+ y					)								2			2
							2
		z = 2																								(V)
																										(V)
a)	3π	.											б)				π .									в)		2π			.			г)			16π				.
a)	4	.											б)				π .									в)			7		.			г)		3					.
	4																5												7							3
																									0 ≤ x ≤ a
7. Найти массу куба: V: 0 ≤ y ≤ a,																																если плотность в точке ρ =x+y+z.

																									0 ≤ z ≤ a
	2a	4																3a4											4								8a4
a)			.											б)								.				в) α .								г)						.
a)	3		.											б)					2			.				в) α .								г)			5			.
																																													x	2	+ y				2	, .
8. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z =																																													x		+ y					, .
																																													2	+ y			2	.
																																										z = x				+ y				.

a)	π . б)							2π				.										в)			1	.								г) (2 − 2)3 .
a)	π . б)						3					.										в)			96	.								г) (2 − 2)3 .
	6						3																		96
Вычислить тройной интеграл по заданному объему
					2	+ y					2			+ z				2	≤ 3a				2
8. V:		x				+ y								+ z					≤ 3a						,										2		dxdydz .
8. V:					≥		1								2		+ y				2				J = ∫∫∫(x + y + z)												dxdydz .
		z										(x										),					(V)
		z						2a				(x										),					(V)
								2a
a)	πa3 ( 5						+1)							.							б)						−		97			πa3		.							в) πa	3	.				г)		πa3				( 3 −1) .
a)				2										.							б)			18 3			−		6				5	.							в) πa		.				г)				5		( 3 −1) .
				2																									6				5																		5
10. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями:
		2		= xy,
	z			= xy,
V: x = 5,										, ρ(x, y, z) =1.
	y = 5,
		= 0,
	z	= 0,
a) x0 = y0							=			1			; z0 =1.													б) x0 = y0 = z0									=			2	.				в)	x0			=	1		; y0 =					1	;	z0	=	1	.
a) x0 = y0							=		5				; z0 =1.													б) x0 = y0 = z0									=				.				в)	x0			=	5		; y0 =				10		;	z0	=	3	.
									5																											5												5						10					3
г) x0 = y0							=		2				; z0 =									7		.
г) x0 = y0							=		5				; z0 =								30			.
									5												30

186

РАЗДЕЛ IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Раздел IV. Криволинейные интегралы

4.1.Определение криволинейных интегралов первого и второго родов

иих вычисление

1.Пусть функция f(x, y) определена и непрерывна в точках гладкой дуги АВ (см.

рис. 4.1.).

			Рис. 4.1.
Разобьем	дугу	АВ	на	п	элементарных	дуг	точками
A = A0 , A1, A2 ,..., Ak −1, Ak ,...An = B . На частичной дуге Ak −1Ak						выберем произ-

вольную точку M(x k , yk ) и составим, как это мы сделали при изучении интеграла Римана

одной переменной, интегральную сумму ∑ f (xk , yk )∆lk , где ∆lk есть длина к-ой частич-

k =1

ной дуги Ak −1Ak .

Определение 4.1. Криволинейным интегралом первого рода (интегралом по длине дуги АВ) называется

	∫ f (x, y)dl =		n
	∫ f (x, y)dl =		lim ∑ f (xk , yk )∆lk		(4.1)
	( AB)		max ∆lk →0 k =1
при существовании предела в правой части (4.1).
ЕслидугаАВзаданауравнением y =ϕ(x),				a ≤ x ≤ b , тоинтеграл(4.1) принимаетвид
	∫ f (x, y)dl = ∫b		f [x,ϕ(x)]	1+[ϕ'(x)]2 dx .	(4.2)
	( AB)	a
Если дуга АВ задана параметрическими уравнениями
	x = x( t ), y = y( t ), t1 ≤ t ≤ t2,
то интеграл (4.1) принимает вид
	t
∫ f (x, y)dl = ∫2		f [x(t), y(t)] [x'(t)]2 +[y'(t)]2 dt .			(4.3)
( AB)	t1

187

РАЗДЕЛ IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В случае задания уравнения дуги АВ в полярной системе координат

ρ = ρ(ϕ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 имеем

	ϕ2	[ρ(ϕ)]2 +[ρ'(ϕ)]2 dϕ.
∫ f (x, y)dl = ∫ f (ρcosϕ, ρsinϕ)		[ρ(ϕ)]2 +[ρ'(ϕ)]2 dϕ.	(4.4)
( AB)	ϕ1

Если дуга АВ задана в трехмерном пространстве параметрическими уравнениями

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 ≤ t ≤ t2 ,

а на ней определена непрерывная функция f(x,y,z), то

	t
∫ f (x, y, z)dl = ∫2		f [x(t), y(t), z(t)] [x'(t)]2 +[y'(t)]2 +[z'(t)]2 dt .	(4.5)
( AB)	t1

Пусть вдоль дуги АВ распределена некоторая масса т с линейной плотностью f(x,y).

Тогда криволинейный интеграл первого рода ∫ f (x, y)dl	определяет всю массу на дуге АВ
( AB)
m = ∫ f (x, y)dl .	(4.6)
( AB)

Ниже приведем основные свойства криволинейного интеграл первого рода:

1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления пути интегрирования, то есть

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl .

		( AB)	( BА)
2.	∫[f1 (x, y) ± f2 (x, y)]dl = ∫ f1 (x, y)dl + ∫ f2 (x, y)dl .
	( AB)	( AB)	( AB)
3.	∫C f (x, y)dl = C ∫ f (x, y)dl,		C = const .
	( AB)	( AB)

4. если контур интегрирования АВ разбит на две части АС и СВ, то

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl .

( AB) ( AC ) ( BC )

2. Пусть на дуге АВ теперь определены и непрерывны функции P(x, y) u Q(x, y). Составим интегральную сумму

n
∑P(xk , yk )∆xk +Q(xk , yk )∆yk ,	(4.7)

k =1

где ∆xk u ∆yk есть проекции элементарной дуги ∆lk на осях ОХ и ОУ.

188

РАЗДЕЛ IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Определение 4.2. Криволинейным интегралом второго рода (интегралом по координатам вдоль дуги АВ) называется

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy =		n
∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy =	lim ∑[P(xk , yk )∆xk + Q(xk , yk )∆yk ]		(4.8)
( AB)	max ∆xk →0	k =1
	max ∆yk →0

при существовании предела в правой части (4.8).
Если дуга АВ задана уравнением		y = ϕ( x ), a ≤ x ≤ b, то интеграл (4.8) прини-
мает вид
		b
∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫P[x,ϕ(x)]dx +Q[x,ϕ(x)]ϕ'(x)dx .			(4.9)
( AB)		a
Если дуга АВ задана параметрическими уравнениями
	x = x(t),	y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 ,
то интеграл (4.8) принимает вид
	t
∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫2 {P[x(t), y(t)]x'(t) +Q[x(t), y(t)]y'(t)}dt .			(4.10)
( AB)	t1
Для пространственной дуги АВ аналогично определяется криволинейный интеграл
второго рода	∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz ,
	∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz ,
	( AB)
где функции P(x, y,z),	Q(x, y,z), R(x, y,z) определены и непрерывны на пространст-
венной дуге АВ.

Пусть под действием силы F = irP( x, y ) + rjQ( x, y )материальная точка движет-

ся по дуге АВ от А до В. Тогда работа этой силы определяется криволинейным интегралом второго рода

А= ∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy .

( AB)

Отметим, что в противоположность криволинейному интегралу первого рода, криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления обхода контура интегрирования, то есть

∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy = − ∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy .

( AB) ( BА)

В случае замкнутой дуги АВ (А совпадает с В) криволинейный интеграл второго рода обозначается следующим образом

∫Р(х, у)dx + Q(х, у)dy ,

аположительным направлением обхода контура интегрирования считается то направление обхода, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается по левую сторону по отношению к точке, совершающей этот обход (обход против часовой стрелки) (см. рис. 4.2.).

189

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3319 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153.06 Mб20мат мет.doc
#
05.06.201520.22 Кб10МАТ.АНАЛИЗ.docx
#
05.06.2015297.47 Кб105мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ.doc
#
05.06.2015166.91 Кб13Математика-1.doc
#
05.06.20152.97 Mб26Математический анализ для экономистов.doc
#
05.06.20154.32 Mб75Математический анализ.pdf
#
05.06.2015429.57 Кб20материалы для курсового лекции.doc
#
05.06.20151.76 Mб264Матлогика Пономарев.pdf
#
05.06.2015113.15 Кб11медиабизнес.doc
#
05.06.20155.68 Mб50Медиарекламные исследования.pdf
#
20.09.2019152.01 Кб2межд право ответы.docx