Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3323 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞

Определение 6.9. Ряд ∑Uk называется знакочередующимся, если члены этого

k =1

ряда поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки. Знакочередующийся ряд обозначается так

∞	∞
∑Uk = ∑(−1)k −1 Pk ,		(6.33)
k =1	k =1

где Pk ≥ 0 для k N .

Теорема 6.17. (достаточный признак Лейбница условной сходимости знакочередующегося ряда).

Если члены знакочередующегося ряда

∞
∑(−1)k−1 Pk ,	(6.34)

k=1

будучи взятые по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то есть удовлетворяют следующим условиям

а)

(−1)k P

≤

(−1)k −1 P

или

≤ P ,

(6.35)

k +1

б) lim

(−1)k−1 P

= lim P

= 0 ,

(6.36)

k→∞

∞

то знакочередующийся ряд ∑(−1)k −1 Pk

сходится.

k=1

Доказательство. Частичная сумма ряда (6.34) четного порядка имеет вид

S2n = P1

− P2 + P3

− P4 + ... + P2n−1 − P2n =

(6.37)

= (P1 − P2 ) + (P3 − P4 ) + ... + (P2n−1 − P2n ).

Согласно условию (6.35)

P1 − P2 ≥ 0,

P3 − P4 ≥ 0,..., P2n−1 − P2n ≥ 0 .

Тогда очевидно, что {S2n } при n → ∞ не убывает. С другой стороны, выражение

(6.37) для S2n можно представить в виде

S2n = P1 − (P2 − P3 ) − (P4 − P5 ) −... − (P2n−2 − P2n−1 ) − P2n .

Так как P2

− P3

≥ 0,

− P5 ≥ 0,..., P2n−2 − P2n−1 ≥ 0 , то ясно, что для n N спра-

ведливо неравенство

S2n ≤ P1.

Таким образом, оказывается,

что последовательность

частичных сумм четного порядка {S2n } не убывает и ограничена сверху. Как известно, та-

кая последовательность сходится к некоторому числу S

lim S2n

= S .

(6.38)

n→∞

Частичная сумма ряда (6.34) нечетного порядка S2n−1 = S2n + P2n . В этом равенстве

перейдем к пределу при n → ∞ . Имеем

lim S

2n−1

= lim S

+ lim P

(6.39)

n→∞

n→∞ 2n

220

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Учитывая (6.38) и второе условие теоремы, из (6.39) получим

lim S2n−1

= S.

(6.40)

n→∞

Таким образом, как следует из (6.38) и (6.40), lim Sn

= S , то есть исходный знако-

чередующийся ряд (6.34) сходится.

n→∞

Теорема доказана.

Следствие теоремы Лейбница (свойство остатка Rn знакочередующегося ряда).

При доказательстве теоремы Лейбница мы показали, что S2n ≤ P1

u S2n−1 ≤ P1 .

∞

Тогда очевидно, что и S ≤ P1 . Но так как остаток ряда

= ∑(−1)k −1 Pk

также является

знакочередующимся рядом, то

k =n+1

≤ Pn+1 .

(6.41)

Отметим, что вышеуказанное свойство остатка знакочередующегося ряда дает воз-

можность оценивать погрешности при приближенных вычислениях.

Пример 6.2. Исследуем на сходимость знакочередующийся ряд

∞

(−1)

k−1

∑

(6.42)

k=1

Решение. Заметим, что данный ряд не сходится абсолютно (см. пункт 6.3). Но так

как

lim

= 0 , то по признаку Лейбница ряд (6.42) сходится условно.

k +1

k→∞

Пример 6.3. Найти значение sin

с точностью до 10-3.

Решение. Пользуясь рядом Тейлора для sinx (см. пункт 6.7) имеем

−L.

sin

−

(6.43)

π 3

−3

-3

Так как

≤

<10

, то с точность до 10

получим

π 3

sin

−

0,16 .

Теорема 6.18. (достаточный признак Дирихле сходимости рядов с произвольными членами).

∞

Пусть имеем ряд ∑UkVk с произвольными членами. Если последовательность {Vk }

k =1

невозрастающая и lim Vk = 0 , а ряд	∞
	∑Uk имеет ограниченную последовательность час-
k→∞	k =1

∞

тичных сумм, то ряд ∑UkVk сходится.

k =1

221

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Пример 6.4. Исследуем на сходимость

∞

(6.44)

∑sin k .

k =1

4 k

Решение.

Возьмем V

1 ,

= sin k .

Очевидно,

что {V

монотонно

убывает и lim

= 0 .

Остается

оценивать последовательность

частичных

сумм ряда

k→∞

∞

∑sin k . Имеем

k =1

= sin1+sin 2 +sin 3 +K+sin n .

(6.45)

Умножив обе части (6.45) на 2sin

, получим

2 sin

Sn = 2 sin

(sin1 + sin 2 + sin 3 +K+ sin n)=

= cos 1 −

− cos 1

+ cos 2

−

− cos

2n +1

K+ cos n −

− cos n

= cos

− cos

Отсюда

2n +1

cos

− cos

2sin

или

1+ 2n

sin

Тогда

1+ 2n

sin

≤

sin

∞

то есть последовательность частичных сумм ряда ∑sin k ограничена. По теореме Дирих-

k =1

∞		сходится.
ле ряд ∑sin k		сходится.
k =1	4 k

222

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

6.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов

Определение 6.10. Формально написанная сумма

∞

∑Uk (x) =U1 (x) +U 2 (x) +K+U n (x) +K (6.45)

k =1

бесконечного числа членов функциональной последовательности {Uk (x)} называется

функциональным рядом.

Предположим, что члены ряда (6.45) Uk (x) как функции от х, определены на множе-

∞

стве {x}(оно является и множеством определения функционального ряда ∑Uk (x) ). Фикси-

k =1

∞

руем произвольную точку x0 {x} и рассмотрим ряд ∑Uk (x0 ) , являющийся числовым ря-

k =1

дом.

∞

Определение 6.11. Если числовой ряд ∑Uk (x0 ) сходится, то говорят, что функ-

k =1

∞

циональный ряд ∑Uk (x) сходится в точке х = х0.

k =1

Определение 6.12. Множество всех точек х0, в которых сходится функциональный

∞

ряд ∑Uk (x) , называется областью сходимости этого функционального ряда.

k =1

∞

Область сходимости функционального ряда ∑Uk (x) может либо совпадать с обла-

k =1

стью определения данного ряда, либо составлять часть области определения данного ряда, либо вообще являться пустым множеством.

∞

Если функциональный ряд ∑Uk (x) сходится на некотором множестве {х}, то это

k =1

означает, что lim Sn (x) = S(x) , где предельная функция S(x) последовательности частич-
n→∞
ных сумм {Sn (x)} функционального ряда также определена на множестве {х} и называет-
ся суммой этого ряда.
Пример 6.5. Найти область абсолютной сходимости функционального ряда
		∞
	∑lnk x .				(6.46)
	k =1
Решение. Составим ряд из модулей
∞		∞
∑	lnk x	= ∑	ln x	k ,	(6.47)
∑	lnk x	= ∑	ln x	k ,	(6.47)
k =1		k =1

являющимся для произвольного х из области определения ряда (6.46) рядом с положительными членами. Воспользуемся признаком Даламбера и потребуем, чтобы ряд (6.47) сходился. Имеем

ln x

k+1

ln k x ln x

lim

= lim

ln x

<1.

ln x

ln k x

k→∞

223

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Отсюда	1	< x < e . Крайние точки х = е и х =				1	нужно проверить по отдельности,
	e					e
подставляя эти значения в функциональный ряд (6.46).
Итак, при х = е и х = 1			из (6.46) получаем следующие числовые ряды
		e			1
		∞	∞	∞			∞
		∑lnk e = ∑1k		u ∑lnk		= ∑(−1)k ,
		∑lnk e = ∑1k		u ∑lnk	e	= ∑(−1)k ,
		k =1	k =1	k =1	e		k =1

которые, как известно (см. пункт 6.3), расходятся. Окончательно получаем, что e < x < 1e

является областью сходимости функционального ряда (6.46).

Пример 6.6. Найти область абсолютной сходимости функционального ряда

∞

2kx ,

(6.47)

∑sin

k =1

который определен для всех − ∞ < x < +∞.

∞

sin kx

Решение.

Рассмотрим

ряд

из

модулей

∑

Так

как

sin kx ≤1 u

sin

2kx ≤ 12 ,

k =1

а ряд ∑ 12 сходится, то по первому признаку сравнения, ис-

∞

k=1

ходный ряд (6.47) абсолютно сходится для всех − ∞ < x < +∞.

∞

Определение 6.13. Функциональный ряд ∑Uk (x) называется равномерно сходящим-

k =1

ся на множестве {х} к своей сумме

S(x)

∞

(x)

→

, если последовательность его

∑

S(x)

→

k =1

частичных сумм {Sn (x)} сходится равномерно на множестве {х}к предельной функции S(x).

Заметим, что в символической форме определение 6.13 имеет вид

∞

(x)

→

def

= N (ε) ≠ N (x)):

∑

S(x)

≡( ε > 0)( N

→

k =1

(6.48)

: (n ≥ N (ε)) ( x {x}) (S(x) − Sn (x))=

∞

∑U k (x)

< ε.

k =n+1

Теорема 6.18. (теорема Коши о необходимом и достаточном условии равномерной

сходимости функционального ряда).

∞

→S(x) на множестве {х}

необхо-

Для того, чтобы функциональный ряд ∑U k (x)

димо и достаточно, чтобы

k =1

→

( ε > 0)( N = N (ε) ≠ N (x)): (n ≥ N (ε)) ( p N )

( x {x})

n+ p

∑U k (x)

< ε.

k =n+1

224

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Теорема 6.19. (достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).

∞

Если функциональный ряд ∑Uk (x) определен на множестве {х} и если существу-

k =1

∞

ет сходящийся числовой ряд ∑Сk

с положительными членами такой, что для всех

k =1

х {х} и для любого номера k справедливо неравенство

Uk (x)

≤ Ck , то функциональный

∞

ряд ∑Uk (x) сходится равномерно на множестве {х}.

k =1

∞

Доказательство. По условию теоремы ряд

∑Сk

сходится. Согласно критерию

Коши это означает, что

k =1

n+ p

( ε > 0)( N (ε)): (n ≥ N (ε)) ( p N ) ∑Сk < ε .

k =n+1

n+ p

Составим

∑Uk (x)

и используем условие теоремы

Uk ( x )

≤ Ck . Имеем

k=n+1

n+ p

∑Uk (x)

≤

Un+1 (x)

Un+2 (x)

+K+

Un+ p (x)

≤

k =n+1

n+ p

(6.49)

≤ Cn+1 + Cn+2 +K+ Cn+ p = ∑Ck < ε

для всех x {x},

k =n+1

p N,

n ≥ N (ε) .

Тогда, согласно критерию Коши, функциональный

∞

ряд ∑Uk (x) сходится равномерно на множестве {х}.

k =1

Теорема доказана.

∞

Замечание 6.4. Сходящийся

числовой ряд

∑Сk

называется мажорантом для

k =1

∞

функционального ряда ∑Uk (x) .

k =1

Пример 6.7. Исследовать на равномерную сходимость ряд

∞

∑ak sin kx .

(6.50)

k =1

∞

Решение. Так как

sin kx

≤1

для x R , то

ak sin kx

≤

. Если ∑

сходится,

k =1

то он является мажорантом для функционального ряда (6.50) и, следовательно, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд (6.50) сходится равномерно.

Ниже некоторые важные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов сформулируем в виде теорем.

225

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞

Теорема 6.20. Если все члены функционального ряда ∑Uk (x) непрерывны на сег-

k =1

∞

менте [ a,b ] и если ряд ∑Uk (x) сходится к своей сумме S(x) равномерно на сегменте

k =1

[a,b], то и сумма этого ряда S(x) непрерывна на сегменте [a,b] и имеет место соотношение

	∞		∞	∞
lim ∑Uk (x) = lim S(x) = S(c) = ∑Uk (c) = ∑lim Uk (x),
x→c	k=1	x→∞	k=1	k=1	x→∞
где с [α, b].	k=1		k=1	k=1
где с [α, b].

Замечание 6.5. Из теоремы (6.20) следует, что в равномерно сходящемся функциональном ряде можно местами поменять знаки суммы и предела.

∞

Теорема 6.21. Если все члены функционального ряда ∑Uk (x) непрерывны на сег-

			k =1
		∞
менте [ a,b ] и функциональный ряд ∑Uk (x)			сходится к своей сумме S(x) равномерно
		k =1
		∞
на сегменте [ a,b ] , то указанный ряд ∑Uk (x)			можно интегрировать на сегменте [ a,b ]
почленно, то есть		k =1
почленно, то есть
b	∞	b	∞ b
∫	∑Uk (x) dx = ∫S(x)dx = ∑∫Uk (x)dx .			(6.51)
a k=1		a	k =1 a

Доказательство. Так как с учетом условий теоремы имеем

b	∞	n b	b ∞
∫	∑Uk (x) dx = nlim→∞	∑∫Uk (x)dx = klim→∞ ∫∑Uk (x)dx =
a k=1		k=1 a	a k=1

= lim ∫Sn (x)dx,

n→∞ a

то фактически требуется доказать, что

b	b
∫S(x)dx = nlim→∞	∫Sn (x)dx .	(6.52)
a	a

Оценим величину по модулю

∫b S(x)dx − ∫b Sn (x)dx

имея в виду непрерывность функций Uk (x) u S(x) (см. теорему 6.20), и пользуясь свойствами определенного интеграла (см. часть 1).

226

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Итак

∫b S(x)dx − ∫b

Sn (x)dx

∫b (S(x) − Sn (x)dx)

≤ ∫b

S(x) − Sn (x)

dx .

(6.53)

∞

По определению равномерной сходимости функционального ряда ∑Uk (x)

к своей

сумме S(x) имеем

k =1

> 0 ( N (ε), N

≠ N (x)): (n ≥ N (ε)) ( x [a;b])

b − a

(6.54)

S(x) − Sn (x)

b − a

Тогда согласно (6.54) из (6.53) получим, что для (n ≥ N (ε)) и для ( x [a;b]) удов-

летворяется неравенство

∫b S(x)dx − ∫b Sn (x)dx

< ε.

А последнее означает, что

nlim→∞

∫b Sn (x)dx = ∫b S(x)dx .

Теорема доказана.

Замечание 6.6. Из теоремы (6.21) следует, что при интегрировании равномерно

∞

сходящегося функционального ряда ∑Uk (x) можно поменять местами знаки суммы и

k =1

интеграла.
Теорема 6.22. Если функции Uk (x)	имеют производную на сегменте [ a;b ] (на
концах а и в существуют односторонние	производные) и если ряд из производных
∞	∞
∑U 'k (x) сходится равномерно на сегменте	[ a;b ] , а сам функциональный ряд ∑Uk (x)
k=1	k =1

∞

сходится хотя бы в одной точке c [ a;b ] , то функциональный ряд ∑Uk (x) сходится

k =1

равномерно на сегменте [ a;b ] к некоторой сумме S(x) и этот ряд можно дифференцировать почленно на сегменте [ a;b ] , то есть

	∞	' ∞	(6.55)
	∑Uk (x)	= ∑U 'k (x) = S'(x) .	(6.55)
k =1		k =1

227

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Пример 6.8. Пользуясь равномерной сходимостью функционального ряда, вычис-

лить ∫2

f (x)dx , если

π 6

∞

f (x) =

+K+

+K= ∑

(6.56)

2 2

k =1

Решение. Так как

для

удовлетворяет

условию

≤1, то

;

∞

≤

. Тогда сходящийся числовой ряд

∑

является мажорантом для функ-

k=1

ционального ряда (6.56) и последний сходится к f(x) равномерно. По теореме (6.21) ряд (6.56) можно интегрировать почленно, то есть

∫2

f (x)dx =

π 6

∞

π2

= ∑ln

cos

= ln

cos

k=1

π6

= lim ln

cos

Lcos

cos

π2

n−1

n→∞

π6

= ln lim

cos

Lcos

cos

π2

n−1

n→∞

π6

2cos x

cos

Lcos

cos

sin

= ln lim

2n−1

n→∞

2sin x

2cos x

cos

Lcos

sin

π2

= ln lim

2n−1

n→∞

22 sin

sin x

π2

sin x

π2

= ln lim

= ln

n→∞

x sin

π6

π2

π6

228

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

6.6. Степенные ряды. Радиус сходимости

Определение 6.14. Функциональный ряд вида

∞
a0 + ∑ak (x −a)k = a0 + a1 (x −a) + a2 (x −a)2 +K+ an (x −a)n +... ,	(6.57)
k =1
где a0 ,a1 ,...,an ,... действительные числа, называется степенным рядом.
В частности при а = 0 (6.57) принимает вид
∞
a0 + ∑ak xk = a0 + a1 x + a2 x2 +K+ an xn +... .	(6.58)

k =1

Теорема 6.23. (теорема Абеля).

Если степенной ряд (6.57) сходится в точке х = х0 , то он сходится (и притом аб-

солютно) и при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству x − a < x0 − a .

Следствие теоремы Абеля.

Для каждого степенного ряда

∞

a0 +∑ak (x −а)k

a0 +∑ak xk

k=1

k =1

существует число R>0(возможно R = ∞ ), такое, что при

x − a

< R (

< R ) ряд абсо-

лютно сходится, а при

x − a

> R (

> R) расходится.

Это число R называется радиусом абсолютной сходимости степенного ряда. Получим формулы для вычисления радиуса абсолютной сходимости R степенного

∞

ряда a0 + ∑ak xk , пользуясь достаточными признаками сходимости рядов с положитель-

k =1

ными членами.

Согласно признаку Даламбера

lim

k+1

x k+1

lim

k+1

<1.

a k x k

a k

k→∞

Откуда

< lim

a k

= R .

(6.59)

a k+1

По признаку Коши

k→∞

lim k

a k x k

= x lim k

a k

k→∞

229

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3323 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153.06 Mб20мат мет.doc
#
05.06.201520.22 Кб10МАТ.АНАЛИЗ.docx
#
05.06.2015297.47 Кб105мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ.doc
#
05.06.2015166.91 Кб13Математика-1.doc
#
05.06.20152.97 Mб26Математический анализ для экономистов.doc
#
05.06.20154.32 Mб75Математический анализ.pdf
#
05.06.2015429.57 Кб20материалы для курсового лекции.doc
#
05.06.20151.76 Mб264Матлогика Пономарев.pdf
#
05.06.2015113.15 Кб11медиабизнес.doc
#
05.06.20155.68 Mб50Медиарекламные исследования.pdf
#
20.09.2019152.01 Кб2межд право ответы.docx