Математический анализ

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

8. Найти радиус сходимости рядов

9. Исследовать ряд на равномерную сходимость

а) Сходится равномерно; б) Сходится, но не равномерно; в) Не сходится.

10. Исследовать ряд на равномерную сходимость

12. Вычислить интеграл с точностью до 0,001

∫1 3 x cos xdx .

0

240

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

241

РАЗДЕЛ VII. РЯДЫ ФУРЬЕ

Раздел VII. Ряды Фурье

7.1. Периодические функции. Ряд Фурье

Определение 7.1. Функция f(x) называется периодической, если есть постоянное число T>0 такое, что f(x+т) = f(x) для любого x из области определения функции f(x). При этом T называется периодом функции f(x).

Периодические функции играют исключительную роль в биологических, химических, физических явлениях и в технике. Достаточно вспомнить любые ритмы в жизни животных, человека, растений, астрономии. Труднее назвать непериодические явления, чем периодические.

Оказалось, как заметил Фурье, многие периодические функции можно представить в виде бесконечной суммы вида:

Эта сумма называется рядом Фурье, а коэффициенты α0, αk и bk вычисляются для функции с периодом 2ℓ по определенным формулам. Если функцию можно представить в виде бесконечного ряда (7.1.), т.е. разложить в ряд Фурье, то такое разложение единственно.

Представление функции в виде ряда Фурье дает возможность любое сколь угодно сложное колебание (например, кардиограмму) представить в виде суммы "гармоник" с определенными коэффициентами. Зная значения коэффициентов а0, аk, bk , исследователь может делать выводы о том, какие из них являются существенными, а какими можно пренебречь в силу малости коэффициентов.

Как будет далее показано limak = limвk = 0 при k→∞, а потому при использовании

разложения функций в ряд Фурье для приближенных вычислений обычно ограничиваются лишь небольшим конечным числом (2n+1) слагаемых, достигая желаемой точности

В целях простоты изложения теоретических вопросов разложения функции в ряд Фурье предположим, что период рассматриваемой функции 2ℓ =2π . Так как переход от π к ℓ проводится простой линейной заменой переменного, все утверждения, сформулированные для этого случая, естественно, останутся в силе и для случая произвольного периода 2ℓ.

Для функции с периодом 2π ряд (7.1) принимает вид:

242

РАЗДЕЛ VII. РЯДЫ ФУРЬЕ

7.2. Ортогональность системы функций: 1, cos x, cos 2x,…, cos nx…, sin x, sin 2x, …, sin nx, … Вычисление коэффициентов Фурье

Ранее в линейной алгебре мы познакомились с системой ортогональных векторов

i, j, и к , которые располагались по осям ОХ, ОУ и ОZ, были единичными по модулю и их попарные скалярные произведения были равны 0, то есть

i j = 0, i к = 0, к j = 0.

Обобщая идею скалярного произведения, ввели скалярное произведение для функций на отрезке [a, b] по формуле

a

Легко показать, что так введенное скалярное произведение удовлетворяет всей аксиоматике для скалярного произведения.

В отличие от трехмерного (или n-мерного) пространства система непрерывных функций состоит из бесконечного их числа, и здесь идет речь о бесконечномерном пространстве.

Система функций: 1, cos x, cos 2x,…cos nx…; sinx, sin 2x, …sin nx… бесконечномер-

на и ортогональна на любом отрезке длины 2π, т.е. любая пара функций из этого множества удовлетворяет условию (7.4).

В самом деле,

243

РАЗДЕЛ VII. РЯДЫ ФУРЬЕ

Ортогональной системой функций будет и система функций: 1, cosπ x/ℓ, cos 2πx/ℓ,…cos nπx/ℓ …; sin πx/ℓ , sin 2πx/ℓ, …sin nπx/ℓ … на любом отрезке длиной 2ℓ.

Выведем формулы для вычисления коэффициентов Фурье, в предположении что функция f(х) разложима в ряд Фурье на [-π, π] (теоремы о условиях разложимости будут приведены ниже).

Умножим обе части (7.3) на сos пx и проинтегрируем в пределах от –π до π. При умножении суммы, стоящей справа, только одно слагаемое будет содержать cos kxcos kx, остальные слагаемые будут вида coskxcosnx ( п ≠ к) или cos kx sin nx., и их интегралы на [-π, π] в силу ортогональности этих функций будут равны 0.

Имеем:

Аналогично, при умножении левой и правой части равенства (7.3) на sin пx и интегрировании получим формулу для вычисления коэффициентов bk

Пример 7.1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x на (-π, π).

Решение: ak = 1 π∫x cos nxdx = 0 , так как под интегралом стоит нечетная функция

π −π

xсosnx, а интеграл от нечетной функции на отрезке, симметричном относительно начала координат, равен нулю. Аналогично a0=0. При вычислении коэффициентов bk полезно обратить внимание на то, что под интегралом стоит четная функция. Для вычисления интеграла четной функции на отрезке, симметричном относительно начала координат, можно удвоить результат интегрирования на половине интервала интегрирования. Имеем

244

РАЗДЕЛ VII. РЯДЫ ФУРЬЕ

Тогда, согласно (7.2.), получим

х=2∑∞ 1 (−1)к+1 sin кх.

к=1 к

Втом случае, если период раскладываемой функции равен 2ℓ, формулы для вычисления коэффициентов Фурье (7.1) имеют вид:

7.3. Теоремы Римана и Дирихле

Теорема 7.1. Теорема Римана. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] (по Риману), то

Доказательство: В силу критерия интегрируемости для любого ε>0 найдется такое разбиение Т отрезка [a, b], что разность Sт – sт верхней и нижней суммы Дарбу будет меньше ε/2, т.е.

245

РАЗДЕЛ VII. РЯДЫ ФУРЬЕ

lim b

Аналогично доказывается, что к → ∞∫a f (x)cos кхdx = 0 .

При a=-π, b=+π, в частности, получаем, что aк → 0, bк→ 0 (при к→∞) для любой абсолютно интегрируемой на [-π, π] функции f(x).

Теорема 7.2. (теорема Дирихле). Пусть функция f(x) на сегменте [-π, π] удовлетворяет следующим условиям:

1) равномерно ограничена, т.е.

f (x) ≤ M при −π ≤ x ≤π, где M = const ;

2)имеет не более, чем конечное число точек разрыва, и все они первого рода (т.е.

вкаждой точке разрыва х0 функция f(x) имеет конечный левый предел f(x0 -0) и конечный правый предел f(x0 +0)).

3)имеет конечное число точек экстремума

Тогда во всякой точке х этого сегмента, в которой f(x) непрерывна, функцию f(x) можно разложить в ряд Фурье (7.1), который в каждой точке сегмента [-π, π] сходится к f(x). Если х0 [−π;π] есть точка разрыва f(x), то сумма ряда Фурье имеет вид

S(x0 ) = 12 [f (x0 −0) + f (x0 +0)],

а S(−π) u S(π) определяются так

S(−π) = S(π) = 12 [f (−π −0) + f (π +0)].

7.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

При вычислении определенного интеграла мы уже отмечали, что расчеты упрощаются в случае интегрирования четной и нечетной функции.

В случае четной функции (f (−x) = f (x)) имеет место равенство

∫a f (x) dx = 2∫a f (x) dx ,

−a 0

а в случае нечетной функции равенство (f (−x) = − f (x)):

∫a f (x) dx = 0 .

−a

Если на сегменте [-π, π] функция f(x) четная, то все ее коэффициенты Фурье bк =0, (к= 1,2,…). Если функция нечетная, то все ее коэффициенты Фурье aк=0 (к=0,1,…).

Действительно, пусть функция f(x) четная, тогда произведение четной функции на нечетную (f(x)sin kx) – функция нечетная и поэтому

bк= π1 π∫ f (x)sin кхdx = 0 .

−π

Аналогичные рассуждения доказывают, что aк=0 для нечетной функции.

246

РАЗДЕЛ VII. РЯДЫ ФУРЬЕ

Таким образом имеем:

1) если f(x) – четная функция, то

иее ряд Фурье будет содержать только косинусы;

2)если f(x) – нечетная функция, то

иее ряд Фурье будет содержать только синусы.

Втом случае, если функция задана на половине периода, то «доопределив» ее на другой половине периода как четную, можно получить ее разложение в ряд Фурье, в ко-

тором коэффициенты bk будут равны 0.

Если такую функцию доопределить как нечетную, можно получить ее разложение в ряд Фурье, в котором коэффициенты аk будут равны 0.

7.5.Комплексная форма ряда Фурье

Пользуясь известными из теории функций комплексной переменной формулами Эйлера:

e iкк = сos кх + i sin kx ,

(7.11)

e −iкк = cos kx − i sin кх,

где i = −1 – мнимая единица, для coskx и sinkx можно получить следующие представления

Подставляя (7.12) в (7.5), после несложных преобразований, получим

Если теперь введем обозначения:

247

РАЗДЕЛ VII. РЯДЫ ФУРЬЕ

то (7.13) можно представить в виде

Интеграл (7.19) вычисляется непосредственно, а для вычисления интегралов (7.20) и (7.21) нужно применить метод интегрирования по частям.

Итак имеем

248

РАЗДЕЛ VII. РЯДЫ ФУРЬЕ

Подставляя (7.22)-(7.24) в (7.3), получим ряд Фурье заданной функции в виде

Пример 7.2. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), определяемую равенствами