Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Pn (x)

4.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.5.Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Лагранжа

Определение 4.3. Рациональной дробью называется отношение двух алгебраиче-

ских многочленов Pn(x) и Qm(x) Pn (x) с действительными коэффициентами, где мно-

Qm (x)

гочлен Pn(x) степени n, а многочлен Qm(x)- степени m, т.е.

Pn(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, Qm(x)=bmxm+bm-1xm-1+...+b1x+b0.

Определение 4.4. Рациональная дробь Pn (x) называется правильной, если степень

Qm (x)

многочлена, стоящего в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе

(n m) (например,	x
		).
	x2 +1	).	Pn (x)
Определение 4.5. Рациональная дробь			Pn (x)	называется неправильной, если сте-
Определение 4.5. Рациональная дробь			Qm (x)	называется неправильной, если сте-
			Qm (x)

пень многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена, стоящего

в знаменателе(n≥m) (например,				x2		или	x3 +1	).
в знаменателе(n≥m) (например,				x2	+2	или	x +1	).
				x2	+2		x +1
		Таким образом, при			интегрировании дробно-рациональных функций
	∫	Pn (x)
		Pn (x)	dx мы столкнемся со случаями:
		Qm (x)	dx мы столкнемся со случаями:
		Qm (x)

1). n≥m

Qm (x) −неправильная рациональная дробь. 2). n<m

Qm (x) −правильная рациональная дробь.

Оказывается, первый случай сводится ко второму простым делением многочлена степени n на многочлен степени m с использованием известного правила алгебры

Pn (x)

о с тато к

=целая часть +

(4.33)

Qm (x)

делитель

Например, пусть

P (x)

− x3

, тогда деля числитель на знаменатель столбиком

Qm (x)

+ x

+ 2

имеем

x4 -x3 +1

x2 +x+2

x4 +x 3+2x 2

x2 -2x

-2x3 -2x2 +1

-2x3 -2x2 -4x

4x+1

110

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Итак, согласно (4.33)

x4 − x3 +1

= x

− 2x +

4x +1

x2 + x + 2

− x3 +1

т.е. неправильную рациональную дробь

представили в виде суммы многочле-

+ x + 2

на второй степени x2-2x(что просто интегрировать) и правильной рациональной дроби

	4x +1	(см. также пункт 4.9 настоящего раздела).
	x2 + x +2	(см. также пункт 4.9 настоящего раздела).
	x2 + x +2

Таким образом, приходим к выводу, что нам необходимо знакомиться с методами интегрирования правильных рациональных дробей.

Заметим, что правильные рациональные дроби в основном интегрируются методом неопределенных коэффициентов Лагранжа, на основании следующей теоремы.

Теорема 4.3. Пусть	Pn (x)	правильная рациональная дробь с действительными
	Qm (x)

коэффициентами, знаменатель которой имеет вид:

Qm(x)= (x − a1 )α1 (x − a 2 )α2 ... (x − a k )αk (x2	+ p1x + q1 )β1 (x2 + p2 x + q 2 )β2 ...
(x2 + pl x + ql )βl ,	(4.34)

где квадратные трехчлены x2+p1x+q1,...,x2+pℓx+qℓ имеют комплексные корни.

Тогда для этой дроби справедливо разложение на сумму правильных простейших рациональных дробей в виде:

(x)

A (1)

2 (1)

A (1)

A (k )

+...

α1

+...

... +

(x)

x − a

(x − a )2

− a

)α1

x − a

(x − a

(4.35)

(k )

(1) x + D (1)

(1) x + D

(1)

Cβ

(1) x + Dβ

(1)

αk

... +

+... +

(x − a

)αk

(x2 + p x + q )2

(x2

+ p x + q

)β1

x2 + p x + q

C (l) x +D (l)

(l) x +D

(l)

+...+

Cβ

(l) x +Dβ

(l)

(x2 + plx +ql)2

(x2

x2 + plx +ql

+ plx +ql)βl

где A1(1),..., A

(k) ,C

(1)

,...,C

(l)

,D(1)

,...,D

(l) − пока неизвестные действительные постоянные,

часть из которых могут быть нули, а α1,..., αk, β1,...,βℓ – целые положительные числа. Ниже, основываясь на теорему 4.3, на простейшем примере покажем, как можно

разложить неправильную рациональную дробь на сумму правильных простых рациональных дробей и как можно найти неопределенные коэффициенты Лагранжа(подробнее см. пункт 4.9. настоящего раздела).

Итак, пусть имеем

P1 (x)	=		x	,
Q3 (x)	=	(x −1)	x2 + x +1	,
	(		)

где квадратный трехчлен x2+x+1 имеет комплексные корни.

111

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Согласно(4.35) имеем

Bx + D

(4.36)

(

)

x −1

2 +

(x −1)

+ x +1

где A, B, D- пока неопределенные действительные коэффициенты Лагранжа. Для их нахождения приведем правую часть разложения (4.36) к общему знаменателю. После некоторых преобразований получим

x			(A + B)x2 +	(	A − B + D x + A − D
x		=		(		)	.	(4.37)
(x −1) x2	+ x +1	=	(x −1) x2			+ x +1	.	(4.37)
(	)				(	)

Как видно из(4.37), у равных правильных рациональных дробей знаменатели одинаковые, откуда следует, что и числители должны быть одинаковыми, т.е.

x=(A+B)x2+(A-B+D)x+A-D

или

0 x2+1 x+0 x0=(A+B)x2+(A-B+D)x+(A-D)x0.

Как известно из алгебры, последнее равенство удовлетворяется для произвольного х, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева, т.е. если

x2 A + B = 0,

xA − B + D =1,

x0 A − D = 0.

Решая полученную систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов А, В, D, получим

A = 13 , D = 13 , B = − 13 .

Тогда(4.36) перепишется в виде

x		1	1			1	x −1
(x −1)(x2 + x +1)	=				−			.
		3		x −1		3	x2 + x +1

Таким образом, согласно теореме 4.3, вопрос интегрирования правильных рациональных дробей сводится к вопросу интегрирования простейших правильных дробей следующих видов:

1.	A	2.	A	(4.38)
	x −a		(x −a)α

112

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.	Bx + D	4.	Bx + D	,
	x2 + px +q		(x2 + px +q)β

где A, B, D- действительные постоянные, α и β- целые положительные числа (α≠1, β≠1), а квадратный трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней(p2-4q<0).

Заметим, что ∫

Adx

и ∫

Adx

вычисляютсянепосредственнопоформулам(4.8), т.е.

x −a

(x −a)

∫

dx = A∫

d(x −a)

= A ln

x −a

+ C,

x −a

(x − a)1−α

∫

Adx

= A∫(x − a)−α d(x − a)= A

+ C.

(4.39)

1 −α

(x − a)

Теперь займемся вычислением ∫

Bx + D

dx.

+ px +q

Выделяя полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции и введя новую пере-

менную по формуле t = x +

= t −

,dx = dt и учитывая(4.8) и (4.18), получим

(

Bx + D

Bx + D dx

∫

dx = ∫

)

+ px + q

p 2

x +

q −

Bt +

D −

tdt

∫

dt =

−

∫

q −

−

q −

2 2

d t 2 +

q −

B 2

∫

+q −

ln t

+ D −

q −

−

arctg

+ C.

+ D

q −

(4.40)

Далее переходя к переменной х в (4.40), окончательно имеем

Bx + D

dx =

(

+ px + q

)

−

∫ x2 + px + q

(4.41)

arctg

x + 2

+ C.

q −

113

Bx + D

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Аналогично вычисляя ∫(x2 + px +q)β dx , мы переходим к выражению:

∫	Bx + D	dx = −	β	1
						+
	( x 2 + px + q) β		2(β − 1)		(x 2 + px + q )β −1

	Bp	∫
+ D −
+ D −	2
	2

			x

					p
		d x		+					(4.42)
		d x		+	2
					2
		2						2	β + C ,
	p	2				p	2	2
	p					p
+			+		q −
+			+		q −
	2					4
	2					4

где интеграл в правой части берется с помощью рекуррентной формулы(4.24).

В заключение этого пункта методом Лагранжа получим следующую формулу

∫a2 dx− x2 = 21a ln aa +− xx + C .

Для этого заметим, что подынтегральную правильную рациональную дробь

можем представить в виде суммы простейших правильных рациональных дробей

a2 − x2

с неопределенными коэффициентами А и В.

= (A − B)x +aA +aB.

∫

2 2

(a − x)(a + x)

a − x

a + x

− x

(a − x)(a + x)

Отсюда

0 х+1=(A-B) х + aA + aB

и для определения A и В приходим к системе линейных уравнений

A − B = 0,

aA + aB =1.

Решая последнюю, получим

A=B= 2a1 .

Тогда имеем

∫

+ ∫

(−ln

a − x

+ ln

a + x

+ C.

− x

a − x

a + x

a − x

Отсюда, как следствие, можно получить и формулу

∫		dx			1		a − x
				=		ln		+ C.
	x	2	2		2a		a + x
		−a

114

4.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.6.Интегрирование тригонометрических выражений

Впункте 1.4.5 мы установили, что интеграл от любой рациональной дроби представляет собой элементарную функцию. В настоящем пункте и далее мы рассмотрим другие классы функций, которые также интегрируются в элементарных функциях. Как правило, мы с помощью определенной подстановки будем сводить интеграл к интегралу от рациональной дроби.

Определение 4.6. Рациональной функцией R(x,y) от двух аргументов x и у называется отношение вида

R(x, y) = Pn (x, y) ,

Qm (x, y)

где Pn(x,y) и Qm(x,y) являются многочленами степени n и m с действительными коэффициентами относительно двух аргументов х и у, т.е.

Pn(x,y)=a00+a10x+a01y+a20x2+a11xy+a02y2+...+a0nyn,

Qm(x,y)=b00+b10x+b01y+b20x2+b11xy+b02y2+...+b0mym.

Теперь перейдем к рассмотрению интегралов от функций вида R(cos x,sin x), т.е. к интегралам

∫R (cos x, sin x)dx.

(4.43)

Для вычисления подобных интегралов делаем подстановку

t = tg π

,−π < x < π .

(4.44)

2dt

x=2arctg t, dx =

1 + t 2

Теперь используя известные тригонометрические формулы

2tg

1 − tg2

sin x =

и cosx =

1 + tg2

и учитывая(4.44), получим

sin x =	2t	и cosx =	1 − t 2		.
	+ t 2
			1	+ t 2
1

Тогда исходный интеграл(4.43) превращается в следующий

	2t			1 − t	2		2dt
∫R(cosx, sin x)dx = ∫R			,					.

	+ t	2		1 + t	2		2
1						1 + t

Так как рациональная функция от рациональной функции также является рациональной функцией, то стоящий справа в (4.45) интеграл есть интеграл от рациональной дроби, который умеем интегрировать (см. пункт 1.4.5).

115

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Заметим далее, что хотя (4.44) является универсальной подстановкой, но иногда приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях подынтегральной функции R(cos x,sin x) в (4.43) удобнее пользоваться другими подстановками.

Рассмотрим эти частные случаи.

1. Пусть рациональная функция R(cos x,sin x) в(4.43) меняет знак при изменении знака одного из аргументов, т.е.

R(-cos x/sin x)=-R(cos x,sin x) или R(cos x ,-sin x)=-R(cos x,sin x).

Тогда удобнее сделать подстановки

sin x=t или cos x=t. (4.45)

2. Пусть рациональная функция R(cos x,sin x) в(4.43) не меняет своего значения при одновременном изменении знаков cos x и sin x, т.е.

R(-cos x,-sin x)=R(cos x,sin x).

Тогда удобнее пользоваться подстановкой

t=tg x, − π

< x <

(4.46)

c учетом того, что

tg2x

t 2

x = arctgt,dx =

,cos2 x =

, sin 2 x =

+ t 2

1 + tg2x

+ t 2

1 + tg2x

+ t 2

В заключение этого пункта еще раз напомним, что некоторые рекуррентные формулы, связанные с интегрированием тригонометрических функций, нами получены в пункте 1.4.5 методом интегрирования по частям. Ими также часто пользуются при вычислении интегралов от тригонометрических функций.

4.7. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей и дифференциальных биномов

Рассмотрим интегралы вида

x + b

(4.47)

∫R x, n

dx,

a 2x + b2

+ b

где R x,

a 2x + b2

есть рациональная функция от х и от дробно-линейной иррациональ-

ностиn

a1x + b1

a 2x + b2 , a1,

b1, a2, b2-некоторые действительные постоянные, n- целое положи-

тельное число.

Покажем, что при условии a1b2-a2b1≠0 интеграл (4.47) можно вычислить подста-

новкой

a1x + b1

t= n

a 2x + b2 .

(4.48)

116

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

На самом деле, так как из(4.48) следует, что

x= b2t n − b1 a1 −a 2t n

dx = b2nt n −1 (a1 − a 2t n )− a 2nt n −1 (b2t n − b1 )dt

(a1 − a 2t n )2

= n(a1b2 − a 2b1 ) t n dt ,

(a1 − a 2t n )2

то(4.47) примет вид				n(a1b2 − a 2b1 )t n
b	2	t n − b
∫R			1	, t				dt	(4.49)
			n			n	2
a1 − a 2t					(a1	− a 2t	)

и мы приходим к интегралу от дробно рациональной функции, интегрировать которую мы умеем(см. пункт 1.4.5).

Теперь перейдем к вопросу интегрирования дифференциальных биномов.

Определение 4.7. Дифференциальным биномом называется дифференциальное выражение вида

xm(a+bxn)pdx,

(4.50)

где а,b- произвольные действительные постоянные.

Еще в середине прошлого столетия известным математиком Чебышевым было доказано, что интегралы от дифференциальных биномов, т.е. интегралы вида

∫xm (a + bxn )p dx,

(4.51)

рационализируются только в трех случаях значений m, n, p.

Рассмотрим эти случаи по отдельности: 1. p- целое число

В этом случае для вычисления (4.51) можно пользоваться двумя способами. Или

вводим новую переменную t= r x , где r есть общий знаменатель дробей m и n, или просто возведя a+bxn в целую степень p, приходим к сумме интегралов от степенных функций.

2. m +1 - целое число n

В этом случае интеграл (4.51) вычисляется подстановкой

a+b xn=tν ,	(4.52)
где ν – знаменатель дроби p =	s	.

	ν

117

4.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.mn+1 + p - целое число

В этом случае интеграл(4.51) вычисляется подстановкой a+bxn=tν xn,

где ν – знаменатель дроби p = νs .

Заметим, что во всех остальных случаях значений чисел m, n, p, не совпадающих с выше разобранными случаями, для вычисления интеграла(4.51) требуется применение приближенных или численных методов интегрирования.

4.8. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера

Рассмотрим интеграл вида

∫R (x, ax2 + bx + d )dx,

(4.53)

где R (x, ax2 + bx + d ) есть рациональная функция от независимой переменной х и от

квадратичной иррациональности ax2 + bx + d , ax2+bx+d ≥0, a, b, d- действительные постоянные числа.

Отметим, что если у квадратного трехчлена ax2+bx+d равные действительные кор-

ни и а>0, то иррациональность ax2 + bx + d заменяется рациональным выражением и для рационализации интеграла(4.53) не требуется никакой подстановки.

А если у квадратного трехчлена ax2+bx+d нет равных действительных корней, то для вычисления интеграла (4.53) необходимо пользоваться известными тремя подстановками Эйлера. Рассмотрим их по отдельности.

1. Первая подстановка Эйлера.

Пусть квадратный трехчлен ax2+bx+d не имеет действительных корней(D=b2- 4ad<0) и a>0.

В этом случае интеграл (4.53) вычисляется первой подстановкой Эйлера
ax2	+ bx + d =t-	ax ,	(4.54)
или
ax2	+ bx + d =t+	ax .	(4.55)

Возведя обе части (4.54) в квадрат

ax2 + bx + d = t 2 −2 atx +ax2

и решая относительно х, получим

x =	t 2 −d	.	(4.56)
	at + b
2

Нетрудно заметить, что при этом

118

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

dx =		2	at 2	+ bt + d		a		dt,		(4.57)
			(2	at + b)2
ax	2	+ bx +d =			at 2		+ bt + d a		.	(4.58)
					2			a + b

Тогда с учетом (4.56),(4.57),(4.58) подынтегральное выражение в (4.53) принимает

вид

	t 2 −d		at 2 + bt + d a 2( at 2		+ bt + d a )
∫R	at + b	,	2 at + b	(2	at + b)	2	dt.
2

Отметим, что подстановка(4.55) приведет нас к аналогичному результату.

2. Вторая подстановка Эйлера.

Если квадратный трехчлен ax2+bx+d не имеет действительных корней (D=b2- 4ad<0) и d > 0, то интеграл(4.53) вычисляется второй подстановкой Эйлера:

ax2 + bx + d =xt- d ,

или

ax2 + bx + d =xt+ d .

Если возвести обе части (4.59) в квадрат, то получим

ax2+bx+d=x2t2-2 d tx+d.

Отсюда следует, что

x = b + 2 dt ,
t 2	− a
dx = −2	a	d + bt	dt,
dx = −2	(t 2	− a )2	dt,
ax2 + bx + d =			dt 2 + bt + da .
			t 2 − a

Теперь с учетом(4.61), (4,62), (4,63) интеграл принимает вид

b +			2 dt		dt 2 + bt + da bt +a d
-2 ∫R		2		,		2				dt.
	t		−a		t		−a	(t 2 −a)	2

Подстановка(4.60) приводит к аналогичному результату.

3. Третья подстановка Эйлера.

(4.59)

(4.60)

(4.61)

(4.62)

(4.63)

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153.06 Mб20мат мет.doc
#
05.06.201520.22 Кб10МАТ.АНАЛИЗ.docx
#
05.06.2015297.47 Кб105мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ.doc
#
05.06.2015166.91 Кб13Математика-1.doc
#
05.06.20152.97 Mб26Математический анализ для экономистов.doc
#
05.06.20154.32 Mб75Математический анализ.pdf
#
05.06.2015429.57 Кб20материалы для курсового лекции.doc
#
05.06.20151.76 Mб264Матлогика Пономарев.pdf
#
05.06.2015113.15 Кб11медиабизнес.doc
#
05.06.20155.68 Mб50Медиарекламные исследования.pdf
#
20.09.2019152.01 Кб2межд право ответы.docx