Математический анализ

гой стороны a-b является постоянным числом и lim(a − b)=a-b. Таким образом получаем,

n→∞

что а-b=0 и a=b, что и требовалось доказать.

Теорема 1.9. Сходящаяся последовательность является ограниченной.

Заметим, что теорема 1.9 легко доказывается, если пользоваться теоремами о необходимом условии сходимости числовой последовательности и об ограниченности б.м.п.

Отметим, что обратное утверждение не имеет места. Ограниченная последовательность необязательно является сходящейся. Хорошим примером этому может служить последовательность xn=1+(1-)n, которая ограничена, но не сходится.

Теорема 1.10. Если числовые последовательности {xn} и {yn} сходятся к а и b, то их сумма (разность), произведение и частное (при условии b≠0) сходятся соответственно к

Из (1.14), опираясь на необходимом условии сходимости последовательности, имеем:

lim xn =a (xn = a+αn) (αn – б.м.п.),

n→∞

lim yn =b (yn = b+βn) (βn – б.м.п.).

n→∞

Отсюда

xn±yn = a ± b + (αn ± βn), где {αn ± βn} является б.м.п. Тогда, согласно достаточному усло-

вию сходимости последовательности (теорема 1.6), получим, что lim(xn ± yn ) = a ± b .

n→∞

Аналогично можно доказать и остальные части теоремы.

22

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.8. Монотонные числовые последовательности

Определение 1.11. Числовая последовательность {xn} называется монотонной (неубывающей или невозрастающей), если для любого n N справедливо xn+1≤xn или xn+1≥xn..

Определение 1.12. Числовая последовательность {xn} называется строго монотонной (убывающей или возрастающей), если для любого n N справедливо xn+1<xn или

xn+1>xn..

Теорема 1.11. (необходимое и достаточное условие сходимости монотонной числовой последовательности).

Неубывающая (невозрастающая) числовая последовательность {xn} сходится тогда и только тогда, когда последовательность {xn} ограничена сверху (снизу).

Необходимость:

Дано: {xn} – неубывающая (невозрастающая).

lim xn =а. (1.15)

n→∞

Доказать: {xn} – ограничена сверху (снизу).

Доказательство необходимого условия следует из теоремы 1.9 о том, что сходящаяся последовательность является ограниченной.

имеет точную верхнюю грань. Пусть sup{xn}=а. Докажем, что число а и есть предел этой последовательности.

По определению точной верхней грани имеем:

Пусть n0 – номер этого элемента xn*. Из условия (1.16) следует, что при n>n0 x ≥ xn*, а из условия (1.17) следует, что xn ≤ a. То есть имеем, что при n>n0 a-ε< xn* ≤ xn ≤ a или |xn-a|<ε. Другими словами, все члены последовательности с номерами, большими n0 могут быть только “ближе” к точке а, оставаясь “слева” от нее или совпадать с ней.

Итак получаем, что

Аналогично доказывается теорема для случая невозрастающей последовательно-

сти.

23

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.9. Число е

Рассмотрим применение теоремы 1.11 для обоснования результата, который имеет

имеет предел при n→∞ (этот предел называется числом е≈2,7). Доказательство этого утверждения сводится к доказательству двух фактов:

Сумма (1.19) содержит n+1 положительный член. Каждый член в сумме (1.19), на-

чиная со второго, больше соответствующего члена в сумме (1.18), так как 1- nk <1- n k+1

для любого k [1;n]. Отсюда следует, что xn+1>xn. Итак утверждение а) о том, что последо-

24

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Для доказательства утверждения б) воспользуемся очевидным неравенством:

верхних граний есть число 3).

Таким образом, утверждения а) и б) доказаны и на основании теоремы 1.11 число-

1.10. Предельный переход в неравенствах

Теорема 1.12. Если, начиная с некоторого номера n*, все члены последовательности {xn} удовлетворяют неравенству xn ≥ 0 (xn ≤ 0), и последовательность {xn} сходится к а, то а ≥ 0 (а≤ 0).

Теорема 1.13. Если начиная с некоторого номера n*, члены последовательностей

Теорема 1.14. Если, начиная с некоторого номера, члены последовательностей

{xn}, {yn}, {zn} удовлетворяют неравенствам xn≤yn≤zn, и lim xn = lim zn =a, то тогда

n→∞ n→∞

lim yn =а.

n→∞

25

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Доказать: lim yn =а.

n→∞

Из условия (1.22) следует, что

( ε > 0)( n' (ε)): ( n)(n ≥ n' (ε) xn − a < ε)

R N N

и

( ε > 0)( n'' (ε)): ( n)(n ≥ n'' (ε) zn − a < ε).

R N N

Но в силу условия (1.21) начиная с номера N0=max{n′, n′′, n*}, т.е. при n ≥ N будет

иметь место и неравенство |yn – a|<ε. А это и означает, что lim yn =а.

n→∞

Доказательства теорем 1.13 и 1.14 оставляем читателю.

1.11. Подпоследовательности числовых последовательностей

Пусть имеем числовую последовательность {xn}=x1, х2, х3,...,хn,... Рассмотрим последовательность возрастающих натуральных чисел n1, n2,...,nk,... и соответствующие им

члены последовательности {xn} xn1 , xn2 , ..., xn k ,... = x1, x2,...,xk,...={xk}. (1.23)

Определение 1.13. Полученная описанным выше образом числовая последовательность (1.23) называется подпоследовательностью последовательности {xn}.

Ниже сформулируем основные свойства подпоследовательностей числовой после-

также ББП.

3.Если последовательность {xn} сходится к а, то из нее можно выделить подпоследовательность {xn k } монотонно сходящуюся к а.

4.Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Свойство 4 известно как теорема Больцано-Вейерштрасса.

1.12. Функция одной переменной

Определение 1.14. Пусть даны два подмножества {x} и {y} множества вещественных чисел R. Если каждому x {x} по определенному правилу, или закону ставится в соответствие один элемент y {y}, то у называется функцией аргумента х. Множество {x} называется областью определения D(y), а множество {y} – областью значений Е(у) функции у.

Известна символическая запись этого факта: у=f(x) или y=y(x).

Аргумент х называют независимой, а у – зависимой переменной, а соответствие между ними функциональной зависимостью.

Частым значением функции y=f(x) при х=а, называется значение у, соответствующее данному значению х. Оно обозначается как у(а), или f(a), или y|x=a.

26

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Закон или правило, по которому значению аргумента x ставится в соответствие значение функции у, может быть описано аналитически (математической формулой у=f(x)), графически или таблицей.

Приведем некоторые примеры аналитического задания функции.

Пример 1. Показательная и логарифмическая функции с основанием е аналитически задаются следующим образом:

y=ex, x R; y=lnx, x>0. (1.24)

Пример 2. Функция Дирехле задается следующим образом:

1приx Q,

D(x) = (рациональное число) (1.25)

0 приx Q.

Пример 3. Знаковая функция (signum) от х имеет вид:

Зависимость функции у от аргумента х можно задать в форме таблицы, в которой рядом со значением аргумента х0 записывается соответствующее значение функции у(х0). Неудобство этой формы заключается в том, что таблица может содержать только определенные значения аргумента и функции.

Наглядным представлением функциональной зависимости являются график функции в той или иной системе координат.

Определение 1.15. Графиком функции у=f(x) в выбранной системе координат называется множество точек с координатами (x,f(x)). Читатель хорошо знаком с графиком различных, изучаемых в школе, функций. Ниже приведем еще график упомянутой выше функции 1.26 (y=sgn x).

Рис. 1.8.

В некоторых случаях мы имеем дело с так называемой суперпозицией двух или нескольких функций или со сложной функцией.

Пусть y=y(x) с областью определения {x}, а переменная х, в свою очередь, есть функция аргумента t, т.е. х=х(t) с областью определения {t}. В этом случае говорят о сложной функции y=y(x(t)). Областью определения этой функции являются те элементы множества {t} при которых x(t) {x}.

27

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Итак функциональная зависимость связывает две переменные, одна из которых является аргументом, а другая – функцией.

Пусть у=у(х) с областью определения {x} и областью значений {y}. Если каждому значению y {y} соответствует только одно значение x {x}, то можно говорить об обратной функции х=х(у) с областью определения {y} и областью значений {x}.

1.13. Предел функции

Трудно переоценить значение понятия предела функции в математическом анализе. Читатель не раз убедится, что это понятие используется во многих определениях, теоремах, доказательствах и является одним из основных.

Наиболее часто упоминаются два подхода к определению этого понятия, которое связывают с именами двух математиков Гейне и Коши.

Определение 1.16 (определение предела функции по Гейне).

Число b называется пределом функции y=f(x) (область определения {x}) в точке a {x} (при х, стремящемся к а), если для любой последовательности {xn} (xn {x}), сходящейся к а, соответствующая последовательность {f(xn)} сходится к b. В символической

Приведенное определение в некоторых случаях позволяет доказать отсутствие предела функции.

Пример 1. Докажем, что функция y = sin 1x при х→0 не имеет предела.

последовательности стремятся к нулю при n→∞, т.е. б.м.п., соответствующие последова-

28

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Отсюда на основании определения 1.16 следует, что рассматриваемая функция sin 1x не имеет предела при x→0.

Определение 1.17 (определение предела функции по Коши).

Число b называется пределом функции y=f(x) при х→а, если для любого положительного вещественного числа ε (сколь угодно малого) существует такое положительное вещественное число δ, зависящего от ε, что из неравенства 0<|x-a|<δ следует неравенство |f(x)- b|<ε.

В символической форме определение 1.17 записывается в виде: