Математический анализ

5.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

5.7.Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения

Вэтом пункте нас будет интересовать вопросы вычисления площадей поверхностей вращения и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть поверхность вращения образована вращением вокруг оси 0х графика функции y=y(x), заданной на сегменте [a,b] (рис. 5.10).

y

y=y(x)

Рис. 5.10.

Можно доказать, что если при этом y′(x) на сегменте [a,b] непрерывна, то поверхность вращения квадрируема и ее площадь Sox можно вычислить по формуле:

a

Если график функции х=х(у), заданной на сегменте [c,d] (х′(у) непрерывна на [c,d]), вращается вокруг оси 0у, то площадь Soy поверхности вращения в этом случае можно вычислить по формуле

a

В случае, когда кривые у=у(х) и х=х(у) заданы в параметрической форме уравне-

ниями х=х(t), y=y(t), где t [α,β], то из (5.63) и (5.64) получим

140

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Заметим далее, что при вращении вокруг 0х криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции у=у(х) (х [a,b]), ординатами х=а и х=b и отрезком оси 0х между точками a и b (рис. 5.10), получаем кубируемое тело вращения (объем границы S этого тела равен нулю, а объем тела вращения конечное число), объем которого можно вычислить по формуле

a

Если тело вращения получается при вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции х=х(у) (у [c,d]), абсциссами y=с и у=d и отрезком оси 0у между точками c и d, то его объем можно вычислить по формуле

a

При параметрическом задании кривых у=у(х) и х=х(у) уравнениями х=х(t), y=y(t) (t [α,β]) для вычисления объемов тел вращения нужно в формулах (5.66) и (5.67) перейти к переменной t и выполнить интегрирование.

141

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Примеры

Пример 1. С помощью определенного интеграла вычислить длину l спирали Архимеда от начала до конца первого завитка, если она задана уравнением ρ=aθ, a>0 в полярной системе координат (рис. 5.11).

0

Ответ: l = πa 1 + 4π 2 + a2 ln(2π + 1 + 4π 2 ).

Пример 2. С помощью определенного интеграла вычислить площадь одной арки циклоиды, если она задана своими параметрическими уравнениями в виде (рис. 5.12)

Решение: согласно формуле (5.58) имеем

S = 2∫πay(x)dx .

0

Для вычисления этого определенного интеграла перейдем к переменной t по формуле (5.68) с учетом того, что dx = a(1-cost)dt и 0 ≤ t ≤ 2π . Имеем

142

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Ответ: S = 3πa2 .

Пример 3. С помощью определенного интеграла вычислить объем тела, получаемого вращением астроиды вокруг оси Оx, если астроида задана уравнением

в декартовой системе координат (рис. 5.13.).

а

-а

Рис. 5.13.

143

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Ответ: Vox = 10532 πa3.

Пример 4. С помощью определенного интеграла вычислить площадь поверхности Sox, полученной вращением эллипса (рис. 5.14) вокруг оси 0х (эллипсоид вращения), если эллипс задан своим каноническим уравнением

в декартовой системе координат.

y

4

-4

Рис. 5.14.

Решение: Для вычисления Sox воспользуемся формулой (5.63), предварительно вы-

144

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Тест 5

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами y2+8x=16, y2-24x=48.

а) 323 6 ; б) 323 ;

в) 36 ; г) 32.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, уравнение которой задано в параметрической форме x=2acos t - acos 2t, y=2asin t - asin 2t, a>0.

а) πа2;

б) 6πа2; в) 3πа2;

г) 2π.

3. Вычислить площадь четырехлепестковой розы, уравнение которой задано в полярных координатах

ρ=asin 2ϕ, a>0.

а) a 2 ; 2

б) π3a 2 ;

в) π2a 2 ;

г) а2.

4.Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в декартовой системе координат

x= 14 y2 − 12 ln y , 1≤y≤e.

а) e 4+1 ;

б) 14 ; в) 4e ;

г) e24+1 .

145

5.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

5.Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в параметрической форме x=etcos t, y=etsin t, 0 ≤ t ≤ ln π.

а) 2 ; б) 2 (π-1); в) π-1; г) π.

6. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в полярной системе координат

ρ=a(1+cos θ), a>0.

а) 8; б) 8а;

в) а;

г) a2 .

7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной кривыми y=sin x, y=0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0у.

а) 2π2; б) 2π; в) 2; г) π.

8. Вычислить объем тела, полученного вращением одной арки циклоиды (уравнение циклоиды задано в параметрической форме)

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0

вокруг своего основания.

а) 5а3; б) 5π;

в) π;

г) 5π2a3.

9. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением эллипса

x2 + y2 =1 вокруг малой оси (эллипсоид вращения). 25 9

а) π(50+22,5ln3); б) 50π;

в) 22,5ln3;

г) 50+22,5ln3.

146

5.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

10.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0. вокруг оси 0у.

а) 16π2a2;

б) 16π2;

в) а2;

г) π.

147

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

Итоговый тест

в) 1; г) 2.

а) 1; б) -2; в) 3; г) 1,5.

5. Определить порядок б.м.ф. f(x) по отношению к б.м.ф. ϕ(x).

f(x)=arcsin ( 4 + x2 -2), ϕ(x)=x, x→0. а) 2; б) 1; в) 3; г) 5.

148

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

6. Найти точку разрыва функции и определить его характер f(x) = xx−2 2 .

а) х=2 – точка разрыва 2-го рода; б) х=2 – точка разрыва 1-го рода; в) х=2 – точка устранимого разрыва.

Найти пределы.

а) ∞; б) 2; в) 2+е; г) 3;

Найти производную второго порядка функции в точке (9;6).

в) 545 ; г) 5.

Найти точки экстремумов функций.

10. y= 33 (x +1)2 −2x .

а) (0;3) – max;

б) (-1;2) – min; (0;3) – max; в) (-1;1) – max;

г) (-1;2) – max.

11. y=x+arctg2x.

149