Математический анализ

1.ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.15.Свойства функций, имеющих предел

Эти теоремы легко доказать, если воспользоваться определением предела функции “по Гейне” и уже доказанными теоремами о свойствах сходящихся последовательностей

(см. п. 1.1.17.).

1.16. Замечательные пределы

Теорема 1.26. lim sin x =1.

x→0 x

Дано: х→0.

Доказать: lim sin x =1.

x→0 x

Пусть х есть радианная мера угла и 0<x< π2 .

Пользуясь очевидными неравенствами (см. рис. 1.9)

S∆AOB<Sсект. AOB<S∆AOC

и учитывая, что S∆AOB = 12 R 2 sin x , Sсект. AOB= 12 R 2x , S∆AOC = 12 R 2tgx , где R есть радиус круга, получим 0<sin x<x<tg x.

y

B C

R x

O A

х

Рис. 1.9.

32

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Деля полученные неравенства на sin x>0, имеем

0<1< sinx x < cosx1

или

теперь в неравенствах (1.37) перейти к пределу при х→0 и пользоваться теоремой о предельном переходе в функциональных неравенствах (см., например, теорему 1.14), то получим

lim sin x =1.

x→0 x

Результат (1.36) известны как первый замечательный предел.

Теорема 1.27.

Эту теорему можно доказать, пользуясь определением предела функции по Гейне. Результат (1.38), который известен как второй замечательный предел, можно записать и в форме

1

lim(1 + x)x = e . (1.39)

x→0

Ниже приведем еще некоторые известные пределы, которые получаются из первого

33

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Отметим, что доказательства (1.42) и (1.43) проводятся аналогично (1.40) и (1.41).

В заключении отметим, что все полученные выше формулы инвариантны относительно аргумента. То есть, эти формулы справедливы в более общем виде. Например,

по отношению к β(х) (или β(х) называется б.м.ф. низшего порядка по отношению к α(х)). Этот факт записывается так: α(x)= о(β(x)).

α(x)

Определение 1.27. Если lim ( ) = ∞, то α(х) называется б.м.ф. низшего порядка

(x→a ) β x

x→∞

по отношению к β(х) (или β(х) называется б.м.ф. высшего порядка по отношению к α(х)). Легко видеть, что определения 1.26 и 1.27 относятся к одному и тому же случаю,

когда сравниваются б.м.ф. разного порядка.

34

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Следовательно: α(x)=x2- б.м.ф. высшего порядка по отношению к β(x)=sinx при x→0, т.е. x2=0 (sin x) при x→0.

Найдем, какого порядка б.м.ф. α(x)=x2 по сравнению с б.м.ф. β(x)=sin x при x→0.

1.18. Непрерывность функции в точке

Пусть f(x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности. Определение 1.29. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если

lim f(x) = f(x0 ). (1.45.)

x→x0

Определение 1.30. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если любой последовательности { xn} → x0 соответствует {f (xn )}→ f (x0 ). .

В силу эквивалентности определений предела функции “по Коши” и “по Гейне” определения 1.29 и 1.30 также эквивалентны.

Определение 1.31. Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0,

если lim f (x)= f (x0 ).

(x→x0 +0 ) x→x0 −0

Определение 1.32. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 справа и слева, то она непрерывна в точке x0.

Имея ввиду определение 1.32 условие непрерывности f(x) в точке x0 (1.45) можно

35

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Пример 1. Функция f(x) = cosx непрерывна в точке x0, так как lim cos x = cos x0

x→x0

(см. п. 1.1.13).

Определение 1.33. Точка, в которой функция y=f(x) не обладает свойством непрерывности, называется точкой разрыва.

Пример 2. Покажем, что функция y=sgn x (см. (1.26)) разрывна в точке x0=0.

условие непрерывности (1.46) для функции sgn x в точке x0=0. То есть функция sgn x в точке x0=0 является разрывной функцией.

Пример 3. Рассмотрим функцию f(x) = x1−1 в окрестности точки x0=1. Данная функция не определена в этой точке, следовательно, она разрывна в точке x0=1.

Пример 4. Рассмотрим функцию f(x) = sinx x . Эта функция разрывна в точке x0=0,

т.к. не определена в этой точке. Если доопределить ее в точке x0=0, задав ее значение в

доопределенная функция ϕ(x) окажется непрерывной в точке x0=0. Действительно:

lim sin x =1 = f(0) =1 и выполняется условие непрерывности (1.46) в точке x=0.

x→0 x

В заключении отметим, что если функция f(x) непрерывна в точке x0, то можно перейти к пределу в аргументе этой функции. Этот факт следует из условия непрерывности функции f(x) в точке x0 (см. (1.45)). На самом деле, согласно (1.45) имеем

1.19. Классификация точек разрыва

Как уже говорилось выше, если функция f(x) в точке x0 удовлетворяет условию непрерывности 1.46, то функция f(x) будет непрерывна в точке x0. Если в этом условии что-то нарушается, то функция f(x) оказывается разрывной в точке x0.

1. Разрыв первого рода.

Если в точке разрыва x0 существуют конечные правосторонний и левосторонний неравные пределы функции f(x), то функция f(x) в точке x0 имеет разрыв первого рода. Примером такой функции может служить уже рассмотренная выше функция sgn x. Она имеет разрыв первого рода в точке x0=0.

2. Устранимый разрыв.

Если в точке разрыва x0 существуют конечные односторонние пределы функции

36

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

f(x) в точке x0 имеет устранимый разрыв. Примером такой функции может служить выше рассмотренная функция sinx x , которая в точке x0=0 имеет устранимый разрыв.

3. Разрыв второго рода.

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода и устранимого разрыва, называются точками разрыва второго рода.

Подобного рода разрыв имеет уже выше рассмотренная функция f(x) = x1−1 в точ-

1.20. Определение непрерывности функции в точке с использованием понятия приращения функции

Пусть функция f(x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, а точка x0+∆x принадлежит этой окрестности, тогда разность f(x0+∆x) – f(x0) = ∆f(x0 )∆x называет-

ся приращением функции f(x) в точке x0 при приращении аргумента ∆x. Определение 1.34. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если

lim ∆f(x0 ) = 0. (1.47)

∆x→0

Данное определение и определение 1.32. эквивалентны. Для доказательства этого утверждения необходимо доказать справедливость двух высказываний:

Читатель может самостоятельно выполнить эти доказательства, воспользовавшись определением предела функции, обозначением x0+∆x= x и тем фактом, что x→x0

∆x→0.

1.21. Арифметические действия над непрерывными функциями

Теорема 1.28. Если функции f(x) и ϕ(x) непрерывны в точке x0, то функции f(x) ± ϕ(x), f(x) ϕ(x) и ϕf(x)(x) (при условии ϕ(x0)±0) также непрерывны в точке x0.

Для доказательства этой теоремы следует использовать определение функции, непрерывной в точке и теоремы об арифметических действиях над функциями, имеющими предел (п. 1.1.15).

Ниже приведем доказательство этой теоремы для случая произведения функций f(x) ϕ(x).

37

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

А последнее и означает, что функция f(x) ϕ(x) непрерывна в точке x0.

1.22. Непрерывность сложной функции

Пусть x=ϕ(t) задана на множестве {t} и имеет множество значений {x}. Пусть на этом множестве {x} задана функция y=f(x). Тогда на множестве {t} задана сложная функ-

ция y=f(ϕ(t)).

Теорема 1.29. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x0 {x}, а функция x=ϕ(t) непрерывна в соответствующей точке t0 (ϕ(t)=x0). Тогда сложная функция y=f(ϕ(t)) непрерывна в точке t0. Для доказательства воспользуемся определением 1.30. Имеем, что для любой последовательности {tn}→t0 {ϕ(tn}→x0 {f(xn)=f(ϕ(tn)}→f(x0)=f(ϕ(t0)), т.е.

lim f(ϕ(t))= f(ϕ(t 0 )).

t→t0

Этот результат полезно записать и в следующей форме:

1.23. Свойства функций, непрерывных на сегменте

Определение 1.35. Функция f(x) называется непрерывной на сегменте [a;b] (непрерывной на интервале (a;b)), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 1.36. Функция f(x) называется непрерывной на множестве {x}, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Символически это записывается так: f(x) C(x).

Оказывается, что непрерывные на сегменте функции обладают интересными свойствами. Ниже эти свойства сформулируем в виде теорем. Некоторые из них приведем с доказательствами.

Теорема 1.30. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0. Если f(x0)≠0, то существует окрестность точки x0, где функ-

Доказать окрестность x0, где sgn f(x)=sgn f(x0).

Из условия (1.49) следует, что для ε>0 (ε R) δ(ε)>0 (δ(ε) R) такое, что для всех

38

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

нее означает, что в δ1 окрестности точки х0 знак функции f(x) совпадает со знаком f(x0) (f(x0)>0 и f(x)>0).

Аналогично можно доказать теорему в случае f(x)<0.

Теорема 1.31. (первая теорема Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b] и на его концах принимает значения f(a) и f(b) разных знаков, то внутри сегмента[a;b] существует точка С такая, что f(C)=0.

На рисунке 1.10 приведена геометрическая иллюстрация этой теоремы в случае f(a)<0 и f(b)>0.

y

Рис. 1.10.

Теорема 1.32. (вторая теорема Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b] и на его концах принимает значения f(a)=A, f(b)=B, то для любого С, заключенного между А и В, существует точка с [a;b] такая, что f(c)=C.

Отметим, что теорема 1.32 другими словами гласит, что непрерывная на сегменте функция принимает все значения, заключенные между значениями этой функции на концах сегмента (см. рис. 1.11).

y

y=f(x)

B

C

A

Рис. 1.11.

Теорема 1.33. (первая теорема Вейерштраcса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b], то она ограничена на этом сегменте.

Дано: y=f(x) непрерывна на [a;b]. Доказать: y=f(x) ограничена на [a;b].

Предположим, что функция f(x) не является ограниченной на [a;b]. Это означает, что существует тоска с [a;b], где функция f(x) стремится к бесконечности, что противоречит условию непрерывности функции f(x) в точке c [a;b] (ведь функция f(x) непрерывна и в точке c [a;b] по условию теоремы).

39

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Теорема 1.34. (вторая теорема Вейерштраcса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a;b] и m = inf{f(x)},M = sup {f(x)} (их существование следует из теоремы 1.32),

x [a;b ] x [a;b ]

то существуют точки c и с , принадлежащие сегменту [a;b] такие, что f(c )=m, f(c )=M.

Теорема 1.35. (необходимое и достаточное условие непрерывности монотонной функции на сегменте). Монотонная на сегменте [a;b] функция f(x) непрерывна на этом сегменте тогда и только тогда, если функция f(x) принимает все все промежуточные значения между f(a) и f(b).

Примеры

40

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ