Математический анализ

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

стоящее время используются и другие системы счета, например двоичная. Однако, при любом подходе результат расчета или измерения представляется с помощью рациональных чисел, отражающей этот результат с нужной точностью.

Ниже приведем основную символику алгебры логики, которые мы в дальнейшем будем использовать при изложении материала.

1.– символ, означающий “каково бы ни было”, “для любого”.

2.– символ, означающий “существует”.

3.: – символ, означающий “такое, что”, “выполняется”, “удовлетворяет условию”.

4.– символ, означающий “принадлежит”.

5.def – символ, означающий “определяется”.

6.U(x0) – означает “некоторая окрестность точки х0”.

7.Uδ(x0) – означает “δ-окрестность точки х0”.

8.U (x0 ) – означает “проколотая окрестность точки х0” (окрестность точки х0, за исключением быть может самой точки х0).

1.2. Ограниченные и неограниченные множества вещественных чисел

Определение 1.1. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число М(m), что каждый элемент множества удовлетворяет неравенству x ≤ M (x ≥ m ). При этом число М(m) называется верхней (нижней) гранью множества.

В символической форме это записывается так:

def

({x} ограничено сверху) ≡ ( M R)( X {x}: X ≤ M),

def

({x} ограничено снизу) ≡ ( m R)( X {x}: X ≥ m). (1.1.1.)

Рассмотрим, например, множество {x} всех правильных рациональных дробей qp , p Z, q Z, q≠0. |p|<|q| (рис. 1.2.).

Рис. 1.2.

Так как модуль любого из этих чисел меньше 1, то все они удовлетворяют нера-

венствам -1< qp <1. Поэтому любое число ≥ 1 может служить для этого множество верней

гранью, а любое число ≤ -1 – нижней гранью. Геометрически это означает, что все точки числовой оси, соответствующие числам, образующим рассматриваемое множество, лежат

12

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

слева от точки 1 и справа от точки -1, а любое число, лежащее вне указанной области, может рассматриваться как верхняя (≥ 1) или как нижняя (≤ -1) грань.

Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из всех верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из всех нижних граней ограниченного снизу множества.

Определение 1.2. Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества {x} называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом

x = sup{x} (supremum – наивысшее).

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества {x} называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом x = inf {x} (infimum

– наинизшее).

Определение 1.2. можно сформулировать и по-другому, более конструктивно.

Определение 1.3. Число x ( x ) называется точной верхней (нижней) гранью множества {x}, если выполняются два требования:

1.для всех элементов множества {x} справедливо x ≤ x (x ≥ x );

2.для любого положительного (сколь угодно малого) вещественного числа ε найдется хотя бы один элемент x* множества {x}, удовлетворяющий неравенствам x -ε < x* ≤ x ( x

≤ x* < x +ε) (рис. 1.3.).

Для любого ли ограниченного сверху (снизу) множества обязательно существует точная верхняя (нижняя) грань? На этот вопрос дает ответ следующая теорема.

Теорема 1.1. Если множество вещественных чисел {x} содержит хотя бы один

элемент и ограниченно сверху (снизу), то существует вещественное число x ( x ), которое является точной верхней (нижней) гранью множества {x}.

13

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение 1.4. Множество, ограниченное и сверху и снизу называется ограниченным множеством.

1.3. Некоторые конкретные числовые множества

Наиболее часто встречаются следующие множества вещественных чисел:

1. сегмент (“замкнутый отрезок” или “отрезок”) – вещественные числа, удовлетворяющие неравенствам a ≤ x ≤ b. Геометрически сегмент – это отрезок числовой оси, заключенный между точками а и b и включающий эти точки, называемые граничными. Сегмент обозначается символом [a;b] (рис. 1.4).

Рис. 1.4.

2. Интервал (“незамкнутый отрезок”) – вещественные числа, удовлетворяющие неравенствам a<x<b. Интервал обозначается символом (a;b) и не включает граничные точки (рис. 1.5.).

Рис. 1.5.

3.полусегмент или полуинтервал – множество вещественных чисел, которое включает одну из граничных точек. Полусегмент или полуинтервал обозначается символом [a;b)

или (a;b].

4.окрестность точки а – интервал (a-ε1; a+ε2), где ε1 и ε2 положительные вещественные числа.

5.δ окрестность точки а – интервал (а- δ; a+ δ), где δ – положительное вещественное число.

6.числовая прямая – интервал (-∞; +∞).

Определение 1.5. Множество {x} называется неограниченным, если каково бы ни было положительное вещественное число А, найдется элемент х* этого множества, такой, что

|x*|>A.

В символической форме это определение запишется так:

def

({x} неограниченное) ≡ ( A>0, A R)( x* {x}) : (|x*|>A). (1.4.)

Примером неограниченного множества вещественных чисел может служить множество R (все точки на числовой оси).

14

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.4. Понятие числовой последовательности

Определение 1.6. Пусть каждому натуральному числу n N поставлено в соответствие по определенному правилу или закону вещественное число xn. Тогда множество занумерованных вещественных чисел

x1, x2, x3, ..., xn, ...

называется числовой последовательностью.

Каждое отдельное число xn называется элементом или членом числовой последовательности.

Числовая последовательность обозначается символами {xn}, {yn}, {zn}, {αn}, {βn},

{γn} и т.д.

Отметим, что если числовые последовательности {xn} и {yn}, то под обозначения-

ми {x +y }, {x -y }, {x y }, xn нужно понимать сумму, разность, произведение и част-

n n n n n n

yn

ное числовых последовательностей {x } и {y }. При определении частного xn нужно

n n

yn

предполагать, что для всех n члены последовательности yn≠0. Ниже приведем примеры числовых последовательностей:

Числовая последовательность является бесконечным множеством, особенность которого в упорядоченности его элементов. Поэтому для числовых последовательностей применимы такие понятия, как ограниченные сверху (снизу), ограниченные и неограниченные. В этом случае речь идет о последовательности, как о множестве значений ее элементов. Как правило, исследователей интересуют не конкретные значения отдельных элементов числовой последовательности, а тенденции их изменений при неограниченном возрастании номеров. Это неограниченное возрастание номеров записывается символом n→∞.

15

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.5. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности

Определение 1.7. Числовая последовательность называется бесконечно большой (ББП), если для любого положительного вещественного числа А (сколь бы большим оно ни было) существует номер n0 зависящий от А, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n≥n0 справедливо |xn|>A.

В символической форме это определение можно записать так:

-A A

Рис. 1.6.

Геометрически это определение означает, что начиная с некоторого номера n0(A), точки, соответствующие элементам ББП могут находится только “вне” сегмента [-A;A], каким бы большим ни было число А (рис. 1.6). Внутри этого сегмента могут находится только элементы последовательности с номерами меньшими n0(A), т.е. конечное число элементов.

Нетрудно заметить, что из данного определения следует, что ББП является неограниченной, т.е.

({xn} – ББП) ({xn} – неограниченна).

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Для доказательства этого рассмотрим следующий пример числовой последовательности:

Данная последовательность является неограниченной, т.к. для любого А>0 можно указать элемент с номером 2k*, такой, что |x2k*|=2k*>A.

Покажем теперь, что эта последовательность не является ББП. Действительно, для всех нечетных номеров n=2k+1 |xn|=0 и неравенство |xn|>A не имеет места. Еще раз обратим внимание на то, что для ББП неравенство |xn|>A должно выполняться для всех xn с номерами, начиная с n0(A), т.е. при n ≥ n0(A).

16

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Таким образом, начиная с номера n0=2A, т.е. при n ≥ n0(A)=2A, все члены рассмат-

риваемой последовательности таковы, что |xn|= n 2 + 2 >A, где А – любое положительное

2n −1

сколь угодно большое вещественное число.

Определение 1.8. Числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой (б.м.п.), если для любого положительного вещественного числа ε (сколь бы малым оно ни было) существует номер n0, зависящий от ε, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n ≥ n0(ε), справедливо |αn|<ε.

В символической форме определение 1.8. имеет вид:

def

({αn} – б.м.п.) ≡ ( ε>0)(ε R)( n0(ε) N) : ( n N)(n≥n0(ε) |αn|<ε). (1.6)

Геометрический смысл этого определения заключается в том, что начиная с некоторого номера n0(ε) все члены бесконечно малой последовательности оказываются в ε окрестности точки 0, как бы мало ни было положительное число ε (рис. 1.7.)

что она является бесконечно малой последовательностью, т.е.

Решим последнее неравенство, предварительно упростив его. Имеем:

Отсюда

n> 2ε и n0(ε)=[ 2ε ]+1, где [ 2ε ] есть целая часть вещественного числа 2ε .

17

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Таким образом, при n>n0(ε)=[ 2ε ]+1 выполняется неравенство n2 <ε, а значит и нера-

бесконечно малой последовательностью.

Ниже приведем основные теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших последовательностях, причем некоторые из них будем доказывать. Отметим также, что здесь и далее вместо обозначения, например, ( ε>0)(ε R) будем пользоваться обозначением

( ε > 0).

R

Теорема 1.2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Дано: {αn} – б.м.п.; {βn} – б.м.п.

Доказать: {αn±βn} – б.м.п. (3).

Пусть ε>0 – любое вещественное число. Из (1.7.), по определению, следует:

n≥n0(ε) |αn ± βn| ≤ |αn| + |βn|< 2ε + 2ε =ε.

Мы доказали, что

( ε > 0)( n0 (ε)= max{n10 (ε), n02 (ε)})( n): (n ≥ n0 (ε) αn ± βn < ε),

R

т.е. {αn±βn} – б.м.п.

Следствие 1.1. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие 1.2. Бесконечно малая последовательность есть ограниченная последовательность.

Дано: {αn} – б.м.п. Доказать: {αn} – ограничена.

Пусть ε>0 некоторое вещественное число членов бесконечно малой последовательности, начиная с номера n0(ε), т.е. при n≥ n0(ε), справедливо |αn|<ε. Так как n0(ε) – конечное число, то из конечного числа элементов α1, α2, ..., αn0(ε) можно выбрать наибольшее по модулю А=max{|α1|, |α2|, ..., |αn0(ε)|}. Пусть М=max{A,ε}, тогда справедливо:

( n)(αn ≤ M ), а это и означает, что {αn} – ограниченная последовательность.

N

18

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Теорема 1.3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Дано: {αn} – б.м.п.,

{xn} – ограниченная последовательность (1.8).

Доказать: {αn xn} – б.м.п.

Из (1.8.) по определению следует

( M > 0)( n): (xn ≤ M ),

R n

Итак имеем, что

n ≥ n0 (ε) αn xn = αn xn < Mε M = ε ,

а это и означает, что {αn xn} – б.м.п.

Теорема 1.4. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу, то это число есть ноль.

Теорема 1.5. а) Если последовательность {xn} бесконечно большая последователь-

1.6. Сходящиеся числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Определение 1.9. Последовательность {xn} называется сходящийся к а, если для любого вещественного числа ε>0 (сколь угодно малого), существует номер n0(ε), начиная с которого для всех членов последовательности справедливо: |xn-a|<ε. Это означает, что

предел последовательности {xn} равен а. Этот факт записывается так: lim xn = a .

n→∞

Если в последнем неравенстве xn-a=αn, то записанное высказывание отражает тот факт, что {xn-a} есть б.м.п. и потому справедливо второе определение, сходящейся к а последовательности, которое запишем только в символической форме.

19

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

20

1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение 1.10.

Ниже сформулируем теоремы о необходимых и достаточных условиях последовательностей в символической форме.

Заметим, что символическая запись (A) (B) говорит о том, что В является необходимым и достаточным условием для А. Теорема 1.7. известна как “критерий Коши”.

Теоремы о необходимом и достаточном условии всегда рассматриваются как две теоремы: а) о необходимом условии; б) о достаточном условии.

Так, например, для доказательства теоремы 1.6 следует доказать два утверждения: а) необходимость (nlim→∞ xn = a) (xn=a+αn) (αn – б.м.п.).

Дано: (nlim→∞ xn = a).

Доказать: (xn=a+αn) (αn – б.м.п.).

б) достаточность: (xn=a+αn) (αn – б.м.п.) (nlim→∞ xn = a).

Дано: (xn=a+αn) (αn – б.м.п.).

Доказать: (nlim→∞ xn = a).

Аналогично следует понимать и теорему 1.7.

1.7. Основные свойства сходящихся числовых последовательностей

Теорема 1.8. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Дано: lim xn =а и lim xn =b.

n→∞ n→∞

Доказать: а=b.

Пользуясь необходимым условием сходимости числовой последовательности (теорема. 1.6.) имеем

lim xn =а (xn=a+αn) (αn – б.м.п.),

n→∞

lim xn =b (xn=b+βn) (βn – б.м.п.). (1.13)

n→∞

Отсюда

xn-xn=0=a-b+αn-βn

или

βn-αn=a-b.

21