Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3324 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

x <	1	= R .	(6.60)
x <	lim k	= R .	(6.60)
	lim k	a k
	k→∞

Если степенной ряд задан в более общем виде

∞

a0 + ∑ak x рk ,

k =1

где р целое число >1, то радиус абсолютной сходимости этого ряда будет выражаться формулами

R = p lim a k	u R =	1	.	(6.61)
k→∞ a k+1		p lim k	a k
		k→∞

Замечание 6.7. Поведение функционального ряда на концах области сходимости ( x = ±R ) можно установить, исследуя сходимость соответствующих числовых рядов

∞	∞
a0 + ∑ak Rk	u a0 + ∑(−1)k ak Rk .
k =1	k =1

Замечание 6.8. При нахождении области сходимости степенного ряда можно пользоваться обычным методом нахождения области абсолютной сходимости функционального ряда, не вычисляя радиус сходимости R.

Теорема 6.24. Каково бы ни было число r>0, удовлетворяющее условию r<R, сте-

∞
пенной ряд a0 + ∑ak xk равномерно сходится на сегменте [-r; r], то есть при						x	≤ r .
k =1
Доказательство. По теореме 6.23 исходный степенной ряд абсолютно сходится
		∞
при x = r, то есть абсолютно сходится числовой ряд	a0	+ ∑	ak	r k	и, следовательно, он яв-
при x = r, то есть абсолютно сходится числовой ряд	a0	+ ∑	ak	r k	и, следовательно, он яв-
		k =1
∞
ляется мажорантом для степенного ряда a0 + ∑ak xk		при всех			x [r;−r] . По признаку
k =1
∞
Вейерштрасса (теорема 6.19) степенной ряд a0 + ∑ak xk		сходится равномерно на сегменте

k =1

[-r; r].

Теорема доказана.

Основываясь на теоремы 6.24, 6.20, 6.21, 6.22 можно установить следующие свойства степенных рядов (см. теоремы 6.25, 6.26).

Теорема 6.25. Сумма степенного ряда внутри своей области сходимости является непрерывной функцией.

230

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Теорема 6.26. Степенной ряд внутри своей области сходимости можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать сколько угодно раз. В результате этого полученные степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Пример 6.9. Найти сумму ряда

∞

4k −3

∑k =1

(6.62)

4k −3

Решение. Рассмотрим степенной ряд

∞

∑x4k −4 .

(6.63)

k =1

Найдем область сходимости этого ряда. По признаку Даламбера имеем

lim

x 4k

= lim

= x

<1.

x 4k−4

k→∞

Отсюда следует, что ряд (6.63) абсолютно сходится в области x <1. При x = ±1, как нетрудно заметить, ряд (6.63) расходится. Обозначим сумму ряда (6.62) через S(x)

∞	4k −3
∑k =1	x	= S(x)	(6.64)
	4k −3

и постараемся ее найти, пользуясь формулой суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, и замечая, что степенной ряд (6.63) внутри своей области сходимости можно почленно интегрировать.

Имеем с одной стороны

∞

4k−4

∞

4k −4

∞

x4k −3

∫

∑x

∑∫x

= ∑

= S(x) ,

(6.65)

4k −3

0 k =1

k =1 0

k=1

а с другой стороны

∞

4k −4

1 x

∑x

dx =

∫

− x

∫1

− x

2 ∫

+ x

k 1

(6.66)

1 + x

arctgx.

1 − x

Таким образом, сравнивая (6.65) и (6.66), окончательно получим

∞

4k −3

1+ x

S(x) = ∑

= 1 ln

+ 1 arctgx .

(6.67)

k =1

4k −3

4 1− x

231

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

6.7. Ряды Тейлора

Определение 6.15. Степенной ряд

∞		∞
a0 +∑ak (x −а)k	a0 +∑ak xk ,
k=1		k =1

коэффициенты которого определяются формулой

	f	(k )	(a)			f	(k )	(0)
	f		(a)			f		(0)
ak =				ak	=				,
ak =		k!		ak	=		k!		,
		k!					k!

где f ( k )( x ) непрерывные функции в области сходимости ряда x < R , называется рядом Тейлора функции f(x).

Теорема 6.27. (необходимое и достаточное условие разложимости функции f(x) в ряд Тейлора).

Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (− R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена) для этой функции стремился к нулю при k → ∞ на указанном интервале (− R; R).

Основываясь на теорему (6.27) и вспоминая формулы Тейлора и Маклорена для функции f(x) в окрестностях точек х = а и х = 0 (см. часть 1), мы получим соответствующие ряды Тейлора функции f(x) вокруг точек х = а и х = 0 в виде

f (x) = f (a)		+	f '(a)
			1!

K+	f (k ) (a)	(x − a)k
	k!

f (x) = f (0) +		f ' (0)		x +
			1!

∞		(k )	(0)x		k
= f (0) + ∑	f					.
			k!
k =1

(x − a) +		f ''(a)	(x − a)2				+K
(x − a) +		2!	(x − a)2				+K		(6.68)
		2!
		∞		f	(k )	(a)(x − a)		k
+K= f (a) + ∑				f		(a)(x − a)			,
+K= f (a) + ∑							k!		,
		k =1					k!
f ' ' (0)	x2	+K+	f (k ) (0)				xk +K=
2!	x2	+K+			k!		xk +K=
2!					k!				(6.69)
									(6.69)

По формуле (6.69) можно получить ряды Тейлора вокруг точки х=0 основных элементарных функций. Ниже приведем эти ряды с указанием области их сходимости

∞

ex =1+ ∑

−∞ < x < +∞,

(6.70)

k =1

∞

cos x =1+ ∑(−1)

−∞ < x < +∞ ,

(6.71)

k =1

(2k)!

∞

(−1)

k +1

2k −1

sin x = ∑

−∞ < x < +∞,

(6.72)

(2k −1)!

k =1

232

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞	(−1)	k	+1	x	k
ln(1+ x) = ∑						, −1 < x ≤1 ,
	k
k =1

(1 + x)α =1 + ∑α(α −1)(α					− 2)K(α − k +1) x k ,
∞
k =1						k!
α > 0, −1 < x <1,
∞	(−1)	k	−1	x	2k −1
arctgx = ∑	(−1)			x			, −1 ≤ x ≤1 .
arctgx = ∑	2k −1						, −1 ≤ x ≤1 .
k =1	2k −1

(6.73)

(6.74)

(6.75)

Замечание 6.9. С помощью разложений (6.70)-(6.75) можно провести приближенные вычисления, сохраняя в данных разложениях первые п членов (п – конечное число), и отбрасывая остальные члены. Для оценки погрешности найденного приближенного зна-

чения нужно оценить сумму отброшенных членов, то есть сумму остатка ряда Rn+1( x ). При этом нужно иметь в виду, что если данный ряд с положительными членами, то остаток ряда Rn+1( x ) сравниваем с суммой легко суммирующегося числового ряда, члены которого больше, чем члены остатка ряда Rn+1( x ) (обычно члены такого ряда состав-

ляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию).

А если данный степенной ряд знакочередующийся, то пользуются свойством остатка такого ряда (см. следствие признака Лейбница).

Замечание 6.10. Разложения элементарных функций в степенные ряды (6.70)-(6.75) могут быть применены при нахождении пределов и приближенных вычислений определенных интегралов.

Пример 6.10. Разложить в ряд Тейлора вокруг точки х = 0 функции shx u chx. Решение: Как известно

shx =	ex −e−x	, chx =	ex +e−x	.	(6.76)
	2		2

Подставляя в (6.76) разложения в ряд Тейлора вокруг точки х = 0 функций ex u e−x , получим

shx =

+K, − ∞ < x < +∞,

(6.77)

x 2

x 4

chx =1 +

+K, − ∞ < x < +∞.

Пример 6.11. Вычислить cos18o с точностью до 0,0001, пользуясь рядом Тейлора для cosx вокруг точки х = 0.

Решение: Имеем

233

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

= cos

=1 −

π 2

cos18

−L;

π 4

≈ 0.31416,

≈ 0.0987,

≈ 0.00974.

Здесь достаточно взять три члена разложения, так как

1 π

< 0.0001. Тогда

cos18o

≈1− 0.0987 + 0.00974 ≈ 0.9511.

Пример 6.12. Найти

lim sin x − arctgx .

x→∞

Решение: Имеем

sin x − arctgx

x −

−L− x

−

lim

= lim

−

+L =

3 3!

5 5!

x→∞

Пример 6.13. Вычислить

0,1 ln(1+ x )

∫

с точностью до 0,001.

Решение: Пользуясь разложением ln(1+ x ) в ряд Тейлора вокруг точки х = 0, на-

ходим

0,1

x −

∫

ln(1 + x)

dx =

∫

−

dx =

= (x −

−

+L)

00.1 = 0.1 −

0.01

0.001

−L≈ 0.098.

Примеры

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

∞

(6.78)

∑

k=1

k +

Решение: Сначала проверим необходимое условие сходимости ряда

lim

= 0 .

k→∞

k +1

234

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Теперь сравним ряд (6.78)

∞

1 . По первому признаку

с расходящимся рядом ∑

сравнения имеем

k=1

+1 =1.

lim

= lim

→∞

k→∞

k+1

∞

следует расхо-

Так как единица конечное число, то из расходимости ряда ∑

димость исходного ряда (6.78).

k=1

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

∞

∑

(6.79)

k =1

Решение: Проверим необходимое условие сходимости, пользуясь правилом Лопиталя

lim

= lim

= 0 .

k→∞

k→∞ 3k ln 3

Теперь пользуемся достаточным признаком Даламбера

lim

(k +1)

= lim

3k+1 k

k→∞

Так как

<1, то по признаку Даламбера ряд (6.79) сходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

∞

∑lnk 2 .

k =1

Решение: Применим достаточный признак Коши

limk lnk

2 = ln 2 .

k →∞

Так как ln2<1, то по признаку Коши исходный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

∞

∑k =1

(6.80)

(k +1)ln3 (k +1)

Решение: Применим интегральный признак Коши – Маклорена

235

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞

∞ d ln(x +1)

−3

∫

= Alim→∞

∫ln

(x +1)d ln(x +1)

(x +1) ln

(x +1)

= − lim

= −

− lim

lim

A→∞ 2

(x +1)

k→∞ ln

(A +1)

k→∞ ln

2 ln

∞

Так как

конечное число, то несобственный интеграл ∫

схо-

2ln

(x +1)ln

(x +1)

дится. По признаку Коши – Маклорена ряд (6.80) сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с произвольными членами

∞

sin k

∑k =1

(6.81)

ln2 (k +1)

Решение: Применим достаточный признак Дирихле. Заметим, что последователь-

ность

монотонно убывая стремится к нулю, а последовательность частичных

(k +

ln2

сумм

∞

∑sin k ряда ∑sin k ограничена

k =1

cos

−cos

2n+1

∑sin k

≤

k =1

2sin

sin

По признаку Дирихле исходный ряд (6.81) сходится.

Пример 6. Найти радиус абсолютной сходимости ряда

∞

(−1)

∑

(6.82)

k =1

k +1

и исследовать его сходимость на концах области сходимости.

Решение: По формуле Даламбера

k + 2

=1.

R = lim

k +1

k→∞

Тогда ряд (6.82) сходится при

<1 или −1 < x <1.

∞

(−1)

При х = 1 имеем ряд ∑

, который сходится по достаточному признаку Лейб-

k +1

k=1

∞

ница. При х = -1 имеем ряд ∑(−1)

= ∑

который расходится по интегральному

k +1

признаку Коши – Маклорена

k =1

k +

k =1

∞

= A lim

d(x +1)

= lim ln(x +1)

= ∞.

∫

x +1

∫A→∞

x +1

→∞

Пример 7. Найти радиус абсолютной сходимости ряда Тейлора для sinx

236

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞

(−1)

k −1

2k −1

sin x = ∑

k =1

(2k −1)!

Решение: По формуле (6.61) имеем

R = lim

(2k +1)!

lim(2k +1) = ∞ .

k→∞

(2k −1)!

k→∞

Пример 8. Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд

∞

∑ fk (x) =

∑

при

0 ≤ x < ∞ .

k =1

1+ k

Решение: Так как

f '

(x) =

1+ k 4 x2 −2k 4 x2

1−k 4 x2

(1+ k 4 x2 )2

то

f '

(x) = 0

при x =

. Легко убедиться, что в этой точке

(x)

имеет максимум и

k 2

max f

(x) =

2k 2

k k 2

∞

Составим сходящийся ряд ∑

. Очевидно,

что

≤

и ряд ∑

яв-

+ k

k =1

ляется мажорантом для исходного функционального ряда. Тогда по достаточному признаку Вейерштрасса исходный ряд равномерно сходится.

Пример 9. Найти сумму ряда

∞

∑(k +1)xk .

(6.83)

k =1

Решение: По формуле Даламбера для нахождения радиуса абсолютной сходимо-

сти степенного ряда имеем

R = lim

k +1

=1.

k + 2

k→∞

Значит ряд (6.83) сходится при

<1. Заметим, что продифференцируя почленно

∞

степенной ряд ∑xk +1 внутри своей области сходимости

<1, получим ряд (6.83). Но

∞

k =1

∑xk +1 =

по формуле суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической

1− x

k =1

прогрессии. Следовательно, имеем

∞

x2 '

2x − x2

2 .

∑(k +1)x =

(1− x)

k =1

1− x

237

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Пример 10. Вычислить е с точностью до 0,00001.

Решение: Используя разложение ех в ряд Тейлора вокруг точки х = 0, получим

1			1			1		1
е = е	2	=1+			+		+		+L.	(6.84)
				1! 2		2! 22		3! 23

Определим число п так, чтобы погрешность приближенного равенства

е ≈1+1!12 + 2!122 + 3!123 +L+ п!12п

не превышала 0,00001.

Очевидно, что (п+1)-ый остаток ряда Тейлора ех имеет вид

Rn+1 (x) =

x n+1

x n+2

x n+3

+K=

(n +1)!

(n + 2)!

(n + 3)!

x n

+L .

(n +1)(n + 2)

(n +1)(n + 2)(n + 3)

n! n +1

Заменив каждый из сомножителей п+2, п+3,…меньшей величиной п+1, получим неравенство

Rn+1

(x) <

+L .

(n +1)

n! n +1

Просуммируя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках, получим

				R			(x) <			xn			х			.		(6.85)
				R			(x) <									.		(6.85)
					n+1					n!			п+1− х
										n!			п+1− х
Полагая в (6.85) х =	1	, имеем оценку
Полагая в (6.85) х =	2	, имеем оценку
	2							1					1
					R			1	<				1				.

												n! 2n (2n +				1)
						n+1		2				n! 2n (2n +				1)
Учитывая, что при n=6
		R		1			<				1			<		1		,
			7
								64	720 13						100000
				2				64	720 13						100000

получим

е ≈1+1!12 + 2!122 + 3!123 + 4!124 + 5!125 + 6!126 =1.64872 .

Пример 11. Найти область абсолютной сходимости ряда

238

ln k

(−1)k

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞	x	k
∑	x		.	(6.86)
∑	k		.	(6.86)
k =1	k

Решение: Найдем радиусабсолютной сходимости ряда (6.86) по формуле Даламбера

	n +1			1	=1.

R = lim		= lim 1	+
	n			n
k→∞		k→∞

Следовательно, интервал абсолютной сходимости ряда (6.86) определяется неравенством x <1. Исследуем сходимость ряда (6.86) на концах интервала. При х = 1 из

(6.86) получаем гармонический ряд ∑∞ 1 , который, как известно, расходится. При х = -1

k =1 k

из (6.86) получаем знакочередующийся ряд ∑∞ (−1)k , который абсолютно не сходится, но

k=1 k

сходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, область сходимости ряда (6.86) определяется неравенством −1 ≤ x <1.

Тест 6.

Исследовать на сходимость следующие ряды:

1. ∑∞ (k +1)2 .

k =1 k!

а) Сходится; б) Расходится.

∑∞ 2k

2. k =1 k 2 +1 .

а) Сходится; б) Расходится.

3. ∑∞ cos ak .

k =1 k

а) Сходится; б) Расходится.

∞	sinπk	1
4. ∑			.
		2
	k +1
k =1	k +1

а) Сходится; б) Расходится.

∞

5. ∑ .

k=2

а) Сходится; б) Расходится.

∞	x	k
6. ∑				,	x	<1.

	k	k	2
k =1	2	k

а) Сходится; б) Расходится.

∞		k
7. ∑	x			,		x	< 3.

	k	k	2
k =1 2
а) Сходится;					б) Расходится

239

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3324 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153.06 Mб20мат мет.doc
#
05.06.201520.22 Кб10МАТ.АНАЛИЗ.docx
#
05.06.2015297.47 Кб105мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ.doc
#
05.06.2015166.91 Кб13Математика-1.doc
#
05.06.20152.97 Mб26Математический анализ для экономистов.doc
#
05.06.20154.32 Mб75Математический анализ.pdf
#
05.06.2015429.57 Кб20материалы для курсового лекции.doc
#
05.06.20151.76 Mб264Матлогика Пономарев.pdf
#
05.06.2015113.15 Кб11медиабизнес.doc
#
05.06.20155.68 Mб50Медиарекламные исследования.pdf
#
20.09.2019152.01 Кб2межд право ответы.docx