Математический анализ

3.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.Найти полный дифференциал первого порядка функции

U=arctg(xy)

5. Найти полный дифференциал третьего порядка функции

U=x2y.

а) 6dx2dy2; б) dx2dy2; в) 6dx2dy;

г) 6dy.

6. Найти величину градиента функции U=x2+y2+z2 в точке

(2;-2;-;1).

а) 5; б) 0; в) 4; г) 6.

7.Найти уравнение касательной к поверхности U=sin x cos y в точке M π; π; 1 .

4 4 2

а) x-y-2z+1=0; б) x-y-z+1=0; в) x-y-z=0;

г) x+1=0.

100

3.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

8.Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (0;0) до членов третьего порядка включительно функцию U(x,y)=exsin y.

а) y + xy + 3x2y − y3 ; 6

б) xy + 3x2y − y3 ; 6

в) 3x2y − y3 ; 6

г) y+xy.

9. Найти максимум функции:

U = 12 xy + (47 − x − y) x3 + 4y .

а) 280; б) 282; в) 200; г) 240.

10. Найти наименьшее значение функции U=x2+y2 в круге:

(x − 2)2 + (y − 2)2 ≤ 9 .

а) 1; б) 3; в) 4; г) 0.

101

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Раздел IV. Неопределенный интеграл

4.1. Определение неопределенного интеграла и его основные свойства

Определение 4.1. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (а;b), если в любой точке х интервала (а;b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F'(x)=f(x).

Например, функция F(x)=sin x является первообразной для функции f(x)=cos x на интервале (−∞;+∞), т.к. в любой точке х бесконечной прямой (sin x) '=cos x.

Заметим, что если функция F(x) является одной из первообразных функций для функции f(x) на интервале (а;b), т.е. F’(x)=f(x), то любая другая первообразная Ф(х) для функции f(x) на интервале (а;b) имеет вид Ф(х)=F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Последнее утверждение следует из того, что С'=0 и Ф'(х)=F'(x)+C'=F'(x)=f(x).

Определение 4.2. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (а;b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом

интервале и обозначается символом ∫f(x)dx , где ∫ – знак неопределенного интеграла,

выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением, а f(x) называется подынтегральной функцией.

Итак, если функция F(x) является одной из первообразных функций для функции f(x) на интервале (a;b), то согласно определению 4.2. имеем

Отметим также, что математическое действие нахождения неопределенного интеграла от функции f(x) называется интегрированием.

Ниже приведем основные свойства неопределенного интеграла с доказательства-

∫dF(x) = ∫f(x)dx = F(x) + C.

3. Неопределенный интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности неопределенных интегралов от этих функций.

102

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

(∫g(x)dx = G(x)). Тогда очевидно, что функции F(x)±G(x) являются первообразными для функций f(x)±g(x), так как (F(x)±G(x))’=F’(x)±G’(x)=f(x)±g(x). А это по определению не-

Доказательство. Пусть функция F(x) есть первообразная для функции f(x). Тогда функция a F(x) есть первообразная для функции a f(x), так как (a F(x))’=a F’(x)=a f(x). Откуда и следует (4.5).

4.2. Основные правила интегрирования

Правила интегрирования от элементарных функций можно получить из правил их дифференцирования( см. раздел 1.2.) с использованием определения 4.2 неопределенного интеграла.

Например, известно, что

Тогда, согласно определению 4.2 имеем

∫cosdx2 x = tgx + C, x ≠ π2 + πn, n = 0,±1,±2,K

Отметим, что полученные правила интегрирования (4.6) инвариантны относительно аргумента подынтегральных функций, т.е. имеет место

Аналогично можно получить правила интегрирования от остальных элементарных функций. Ниже приведем эти правила с учетом свойства инвариантности.

103

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Заметим, что не все интегралы от элементарных функций вычисляются в конечном виде в элементарных функциях. К таким интегралам относятся, например, интегралы:

Отметим также, что интегралы (4.13) можно вычислить приближенными или численными методами.

4.3. Интегрирование заменой переменной

Заметим, что с помощью основных правил интегрирования, приведенных в пункте 4.2, удается выполнить интегрирование ограниченного количества функций. В большинстве случаев нужно пользоваться заменой переменной, что является одним из основных методов интегрирования. Право пользования этим методом дает следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть функция x=ϕ(t) определена и дифференцируема на множестве {t} и множестве {x} есть множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции f(x) на множестве {x} существует первообразная функция F(x), т.е.

104

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Тогда на множестве {t} для функции f[ϕ(t)]ϕ‘(t) существует первообразная функ-

что совпадает с (4.14). Теорема доказана.

Ниже вычислены два важных интеграла, применяя метод замены переменной.

105

4.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.4.Интегрирование по частям. Применение этого метода при вычислении некоторых важных интегралов

Теорема 4.2. Пусть функции U(x) и V(x) дифференцируемы на множестве {x} и на этом множестве существует первообразная для функции V(x) U'(x), т.е. существует

∫U(x) V'(x)dx, при чем справедлива формула

что совпадает с (4.19). Теорема доказана.

Отметим, что метод интегрирования по частям (см.(4.22)) удобно применить в основном в следующих трех случаях:

а) подынтегральные функции содержат в качестве множителя одну из функций: ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и т.д. При интегрировании по частям за функцию U(x) нужно брать одну из указанных функций.

б) подынтегральные функции имеют вид:

(ax+b)n cos kx, (ax+b)n sin kx,(ax+b)n ekx,

где a,b,k- некоторые постоянные, n- произвольное положительное целое число. Формулу (4.22) нужно применить n-кратно, взяв каждый раз в качестве функции U(x) функцию ax+b в соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям степень ax+b будет понижаться на единицу.

106

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

в) подынтегральные функции имеют вид:

eaxcos bx, eaxsin bx, sin (ln x), cos (ln x) и т.д.,

где a, b- некоторые постоянные. Обозначая каждый из интегралов

∫eax cos bxdx, ∫eax sin bxdx, ∫sin(ln x)dx, ∫cos(ln x)dx через I и произведя двукратное ин-

тегрирование по частям, получим для определения I уравнение первой степени. Указанные выше случаи не ограничивают возможности применения метода интег-

рирования по частям и при вычислении других интегралов.

Ниже методом интегрирования по частям получим некоторые важные формулы, которые часто используют при вычислении многих интегралов.

1. ∫ a 2 − x2 dx, x ≤ a, a>0.

107

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Перенеся второй член правой части (4.24) влево и приведя подобные члены, полу-

чим

4. Вычислим ∫ex sin xdx двукратным применением метода интегрирования по час-

тям.

Пусть U(x)=ex и sin xdx=dV(x). Тогда так как dU(x)=exdx и V(x)=-cos x, то по фор-

муле (4.22) имеем

∫ex sin xdx = −ex cos x + ∫ex cos xdx.

Применяя еще раз метод интегрирования по частям для вычисления ∫ex cos xdx, взяв

U(x)=ex и cos xdx=dV(x), придем к выражению

∫ex sin xdx = −ex cos x + ex sin x − ∫ex sin xdx.

108

4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Перенеся последний член правой части влево и решая полученное уравнение относительно ∫ex sin xdx, окончательно получим

5. Интерферированием по частям можно получить и рекуррентные формулы для вычисления неопределенных интегралов от некоторых тригонометрических функций.

Рассмотрим, например, ∫sin n xdx, где n- целое положительное число. Предполо-

жим, что U(x)=sinn-1x и dV(x)=sin xdx. Тогда dU(x)=(n-)sinn-2x cos xdx, V(x)=-cos x и

∫sin n xdx = −cos x sin n −1 x +(n −1)∫cos2 x sin n −2 xdx =

Решая полученное уравнение относительно ∫sin n xdx , перенеся последний член правой части (4.29) налево, получим

109