Математический анализ

в) экстремумов нет.

Найти асимптоты графика функции.

12.y = x3 + 3x2 −5 .

x2 −4

а) х=2; х=-2; у=х+3; б) у=2х+3; в) х=4; у=х.

14. Найти величину градиента функции U=ln(x2+y2) в точке (3;4).

а) 15 ; б) 0,5; в) 43 ;

г) 25 ;

15. Найти полный дифференциал второго порядка функции U=cos(x+y).

а) -cos(x+y)(dx+dy)2; б) -cos(x+y)dx2;

в) (dx+dy)2; г) cosxdy2.

150

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

16. Разложить функцию U=ex+y по формуле Тейлора в окрестности точки (1;-1) до членов второго порядка включительно.

а) (x-1)+(y+1);

б) 1+[(x-1)+(y+1)]+ 12 [(x-1)+(y+1)]2;

в) [(x-1)+(y+1)]2; г) 1+(x-1)2.

17.Найти минимум функции U=x2+xy+y2-3x-6y.

а) 10; б) 0; в) 1; г) -9.

18.Найти условный максимум функции U=xy при условии, что 2х+3у=5.

а) 2523 ; б) 2425 ; в) 254 ;

г) 25.

Вычислить неопределенные интегралы.

19. ∫ x + arctg2 x dx .

1 + x2

а) 12 ln(1 + x2 )+ arctgx3 +c ;

б) 12 ln(1 + x2 )+c ; в) arctgx3 +c ;

г) 12 x2 +c .

20. ∫x2 shxdx .

а) x2chx-2xshx+2chx+c; б) x2chx+2chx+c;

в) 2xshx+c; г) chx+c.

151

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

22. ∫esin x xcos3 x − sin x dx . cos2 x

а) esinx+c;

б) x-secx+c;

в) esinx(x-secx)+c; г) sinx+c.

152

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

г) π.

26. Вычислить площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля, уравнение которой задано в полярной системе координат

ρ=2+cosθ. а) 92 π; б) π;

в) 92 ; г) π2 .

27. Вычислить длину дуги гиперболической спирали ρθ=1 от точки (2; 12 ) до точки ( 12 ;2) (координаты точек заданы в декартовой системе координат).

б) 25 ;

в) 12 ;

г) ln 25 .

а) 2ln2; б) ln2; в) 2;

г) 12 .

153

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

29. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривой y=sin2x и прямой у=0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0х.

а) 38 π2; б) π2;

в) 38 ; г) π.

30. Вычислить площадь поверхности тора, образованного вращением окружности x2+(y-

2)2=1 вокруг оси 0х.

а) 8π2; б) 8;

в) 8π; г) π2.

154

Учебное пособие

Часть II

ВВЕДЕНИЕ

Введение

Математический анализ является основой точных наук, в том числе теории вероятностей, математической статистики, математической экономики, а также всех естественных наук: физики, химии, генетики, биологии, экологии и других.

Вторая часть пособия по математическому анализу посвящена изучению следующих разделов курса математического анализа: несобственные интегралы, криволинейные интегралы, кратные интегралы, теория поля и ряды. При написании данного пособия авторы старались сделать акцент в большей степени на практическую сторону курса, избегая подробного изложения теоретического материала. Авторы надеются, что настоящее пособие в достаточной степени поможет студентам при изучении курса математического анализа.

156

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Раздел I. Несобственные интегралы

Определенный интеграл, или интеграл Римана, вводится в математическом анализе, во-первых, для ограниченной на сегменте [a,b] функции f(x) и, во-вторых, на конечном сегменте.

Если какое – то из этих двух условий нарушено, то теория Римана теряет смысл: теряют смысл верхние и нижние суммы Дарбу. Однако на практике возникает необходимость считать интегралы или на неограниченном интервале, или от неограниченных функций. Отсюда и возникла надобность во введении и вычислении несобственных интегралов.

1.1.Несобственные интегралы первого рода и их вычисление

Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [a,N], где N – любое вещественное число (сколь угодно большое), т.е. существует определенный интеграл f(x) на сегменте

[a,N].

Определение 1.1 Несобственным интегралом первого рода называется предел это-

го определенного интеграла при А→+oo.

Последнее равенство справедливо для функции, непрерывной на сегменте [a,А].

Определение 1.2 Если указанный предел существует, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, иначе – расходящимся.

Пример 1.1

Этот несобственный интеграл сходится.

Несложно доказать следующие утверждения:

а) пусть a<b, и f(x) интегрируема на [a,А] А, тогда:

∞∫ f ( x)dx сходится ∞∫ f ( x)dx сходится, т.е. эти несобственные интегралы или

a b

оба сходятся, или оба расходятся.

б) пусть k константа, f(x) интегрируема на [a,А] А, тогда:

или оба сходятся, или оба расходятся.

157

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теорема 1.1 (необходимое условие сходимости несобственного интеграла первого рода).

Если несобственный интеграл первого рода сходится, то:

lim f ( x ) = 0 .

X →∞

Теорема 1.2 (необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла неотрицательной функции).

Пусть функция f(x) интегрируема на [a,N] N и начиная с некоторого х>a f(x)>0,

тогда:

то есть необходимым и достаточным условием сходимости несобственного интеграла является ограниченность множества определенных интегралов от f(x) на [a,А].

Теорема 1.3 (первая теорема сравнения).

Пусть функции f(x) и q(x), интегрируемы на сегменте [a,А] А и, начиная с неко-

торого х>a, 0≤f(x) ≤q(x), тогда:

то есть если расходится интеграл меньшей функции, то расходится интеграл большей функции; если сходится интеграл большей функции, то сходится и интеграл меньшей функции.

функции. Последний интеграл сходится, так как степень Х α = 3/2 > 1, следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл меньшей (не большей функции), согласно теореме 1.3, тоже сходится.

158

РАЗДЕЛ I. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

то есть необходимым и достаточным условием сходимости несобственного интеграла первого рода одной из функций является сходимость несобственного интеграла первого рода другой функции, или оба интеграла одновременно или сходятся или расходятся.

Пример 1.3 Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Теорема 1.5 (Теорема Дирихле).

Рассматривается несобственный интеграл произведения двух функций:

+∞∫f ( x )g (x )dx ,

a

где:

а) g(x)>0, монотонно стремится к нулю и имеет в каждой точке производную g'(x)<0;

б) функция f(x) имеет ограниченную первообразную F(x) , то есть

A

M>0: (| ∫ f ( x )dx | <=M А>a).

a

Тогда рассматриваемый несобственный интеграл сходится.

159