Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3322 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞			∞
Теорема 6.4. Если ряд ∑Uk сходится,			то ряд ∑С Uk ,	где С = const ≠ 0 , также
k =1			k =1
сходится и
∞		∞
∑С Uk = C∑Uk .				(6.9)
k=1		k=1
		n	n
Доказательство: Обозначим Sn = ∑Uk			и S'n = ∑С U k	. Так как в верхних сум-
		k =1	k =1
мах конечное число слагаемых, то справедливо
		n
S'n = C ∑U k = C Sn .
		k =1
Тогда
lim S'n	= lim C Sn		= C lim Sn .	(6.10)
n →∞	n →∞		n →∞
∞
По условию теоремы ряд ∑Uk сходится, то есть
k =1
		∞
lim Sn = ∑Uk = S ,				(6.11)
n →∞		k =1
		k =1

∞

где S сумма сходящегося ряда ∑Uk . Учитывая (6.11) из (6.10) получим

k =1

lim S'n = C S = S' ,

n →∞

∞
где S' сумма ряда ∑С Uk .
k =1
Теорема доказана.
∞	∞			∞
Теорема 6.5. Если ряды ∑Uk и ∑Vk		сходятся, то ряд ∑(Uk +Vk ) также сходится и
k =1	k =1			k =1
∞		∞	∞
∑(Uk +Vk ) = ∑Uk + ∑Vk .				(6.12)
k =1		k =1	k =1

Замечание 6.2. Теорему 6.5 можно сформулировать и так: сходящиеся ряды можно складывать почленно.

Замечание 6.3. Доказательство теоремы 6.5 проводится аналогично доказательству теоремы 6.4.

210

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

6.2. Примеры числовых рядов

Пример 1. Исследуем на сходимость ряд

∞
∑(−1)k +1 =1−1+1−1+... .	(6.13)
k =1
Так как S2n = 0 , а S2n+1 =1, то не существует lim Sn . То есть ряд		∞
		∑(−1)k+1 рас-
	n →∞	k=1
ходится.		k=1
ходится.
Пример 2. Исследуем на сходимость ряд
∞
∑qk −1 =1+ q + q2 + q3 +K+ qn−1 +L		(6.14)

k =1

члены которого составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q. 1. Если q = 1, то Sn = n , limSn = ∞ и ряд (6.14) расходится.

n→∞

2.Если q = -1, то ряд (6.14) совпадает с выше рассмотренным расходящимся рядом (6.13), то есть расходится.

3.Если q <1, то

Sn =

− qn

−

1− q

− q

lim S

= lim

− lim

1− q

− q

n →∞

n →∞ 1− q

n →∞

∞

и следовательно исходный ряд (6.14) сходится, причем ∑qk −1 =

−q

k =1

4. Если

>1, то lim

= ∞ и ряд (6.14) расходится.

n →∞ 1− q

Пример 3. Пользуясь критерием Коши, исследуем на сходимость числовой ряд

∞

∑

=1+

+L+

+L,

(6.15)

k =1 k

который в математике известен под названием гармонического ряда.

Заметим, что необходимое условие сходимости данного ряда выполняется, так как

lim 1 = 0 . Докажем, однако, что этот ряд расходится. Для этого воспользуемся критерием

k→∞ k

Коши. А именно докажем, что, например, для ε =				1		не существует такого номера N, что-
				2
бы при n ≥ N и для p N имело бы место неравенство
	n+p			1

	∑	1	< ε =		.
				2
	k=n+1 k

211

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

На самом деле, например, при р = п имеем оценку

n+ p

∑

+L+

≥

n =

n +1

n + 2

k =n+1 k

Следовательно, в силу критерия Коши ряд (6.15) расходится.

Пример 4. исследуем на сходимость ряд

∞	1		1		1		1	1
∑k =1										+L.	(6.16)
		=		+		+		+L+
	k(k +1)		1 2		2 3		3 4		n(n +1)

Пользуясь очевидным тождеством

1	=	1	−	1	(6.17)
k(k +1)		k		k +1

п-ую частичную сумму Sn данного ряда можно представить в виде

Sn = 112 + 213 +L+ (n −11)n + (n +11)n =

=1 − 12 + 12 − 13 +L+ n 1−1 − 1n + 1n − n 1+1 =1 − n 1+1.

Тогда limS				1		и ряд (6.16) сходится, а сумма ряда равна 1
	n	= lim 1	−		=1
		= lim 1	−	n +1	=1
n→∞		n→∞		n +1

∑∞ 1 =1. k =1 k(k +1)

6.3. Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости

∞

Определение 6.6. Если все U k ≥ 0 (U k > 0) , то числовой ряд ∑Uk называется

k =1

рядом с положительными членами (со строго положительными членами). Принято общий член таких рядов обозначать через Pk.

Теорема 6.6. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами.

∞

Для того, чтобы ряд с положительными членами ∑Рk сходился, необходимо и

k =1

достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда {Sn } была ограничена.

212

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Доказательство:

а) Необходимость.

∞

Пусть ∑Рk сходится. Тогда по определению последовательность частичных сумм

k =1

этого ряда сходится, и, следовательно, она ограничена.

б) Достаточность.

∞
Пусть {Sn }заданного ряда ∑Рk ограничена. Так как {Sn } является неубывающей,
k =1
то из ограниченности {Sn }следует сходимость этой последовательности.
		∞
Последнее, согласно определению, влечет за собой сходимость ряда ∑Рk .
Теорема доказана.		k =1
Теорема доказана.
Теперь перейдем к изучению некоторых достаточных признаков сходимости рядов
с положительными членами.
Теорема 6.7. Первый признак сравнения.
	∞	∞
Если имеем два ряда с положительными членами ∑Рk и		∑Р'k Pk ≥ 0,	P'k ≥ 0 и
	k =1	k =1
		∞
для всех к удовлетворяется неравенство	Pk ≤ P'k , то из сходимости ряда ∑Р'k		следует
		k =1
∞	∞		∞
сходимость ряда ∑Рk , а из расходимости ряда ∑Рk следует расходимость ряда ∑Р'k .
k =1	k =1		k =1
			∞
Доказательство: Обозначим через Sn и S'n п-ые частичные суммы рядов ∑Рk и
			k =1
∞
∑Р'k .
k =1
Sn = P1 + P2 +...+ Pn ,	S'n = P'1 +P'2 +...+ P'n .		(6.18)
По условию теоремы Pk ≤ P'k . Тогда
Sn ≤ S'n .			(6.19)

∞		{S'n } ограничена. Но тогда согласно
Если ряд ∑Р'k сходится, то по теореме 6.6		{S'n } ограничена. Но тогда согласно
k =1
		∞
(6.19) {Sn } также ограничена. Следовательно, по теореме 6.6 ∑Рk также сходится. А ес-
		k =1
∞	{Sn } неограничена, откуда следует, что		{S'n }
ли ряд ∑Рk расходится, то по теореме 6.6	{Sn } неограничена, откуда следует, что		{S'n }

k =1

∞

также неограничена. Последнее, согласно теореме 6.6 означает, что ряд ∑Р'k расходится.

k =1

Теорема доказана.

213

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Следствие теоремы 6.7 (признак сравнения в предельной форме).

∞

Если ∑Рk

является рядом с положительными членами

(Pk ≥ 0) , а ∑Р'k – со

k =1

строго положительными членами (P'k > 0)

и существует конечный предел

lim

= L , (L ≠ 0)

(6.20)

k→∞ P'k

∞

то из сходимости ряда ∑Р'k следует сходимость ряда

∑Рk ,

а из расходимости ряда

k =1

∞

∑Рk

следует расходимость ряда

∑Р'k .

k =1

Теорема 6.8. Второй признак сравнения.

∞

Пусть имеем два ряда

∑Рk и

∑Р'k со строго положительными членами

k =1

Pk > 0,

P'k > 0 . Если для всех номеров к справедливо неравенство

Pk+1

≤

P'k+1

(6.21)

∞

то из сходимости ряда ∑Р'k следует сходимость ряда

∑Рk ,

а из расходимости ряда

k =1

∞

∑Рk

следует расходимость ряда

∑Р'k .

k =1

Теорема 6.9. Признак Даламбера.

∞

Пусть дан ряд с положительными членами ∑Рk ,

причем хотя бы начиная с k > k0

k =1

все Pk

> 0 .

1. Если для всех номеров к, или по крайней мере начиная с некоторого номера

∞

k > k0

между членами ряда ∑Рk

выполняется неравенство

k =1

Pk +1

≤ q <1, (q > 0) ,

(6.21)

∞

то ряд ∑Рk сходится.

k =1

2. Если Pk+1

∞

≥ 1, начиная хотя бы с некоторого k > k0 , то ряд ∑Рk расходится.

k =1

214

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Доказательство. Для доказательства первой части теоремы 6.9 положим P'k = qk ,

∞

где 0<q<1, и заметим, что ряд ∑Р'k

= ∑qk

сходится согласно рассмотренному в пункте

k =1

6.2 второму примеру. Тогда

k +1

qk +1

= q <1

(6.22)

или

P'k

Pk+1

P'k+1

≤

(6.23)

∞

Так как ряд ∑Р'k

сходится, то по теореме 6.8 ряд ∑Рk также сходится.

k =1

Для доказательства второй части этой теоремы положим P'k =1k

и заметим, что ряд

∞

∑1k

расходится согласно рассмотренному в пункте 6.2 первому примеру. Тогда

k =1

P'k +1

k +1

(6.24)

P'k

Pk+1

P'k+1

≥

(6.25)

∞

Так как ряд ∑Р'k

= ∑1k расходится, то по теореме 6.8 ряд ∑Рk

также расходится.

k =1

Теорема доказана.

Следствие теоремы 6.9 (признак Даламбера в предельной форме).

Pk +1

∞

Если lim

= l , то при l<1 ряд ∑

Рk

сходится, при l>1 ряд ∑Рk расходится, а

k→∞

k =1

при l=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Теорема 6.10. Радикальный признак Коши.

∞

Пусть дан ряд с положительными членами ∑Рk .

k =1

k > k0

1. Если для всех номеров к или, по крайней мере, начиная с некоторого номера

выполняется неравенство

k P

≤ q <1

(q > 0) ,

(6.26)

∞

то ряд ∑Рk сходится.

k =1

∞

2. Если k Pk

≥1 начиная хотя бы с некоторого k > k0 , то ряд ∑Рk расходится.

k =1

215

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Отметим, что доказательство этого признака проводится аналогично доказательству признака Даламбера.

Следствие теоремы 6.10 (радикальный признак Коши в предельной форме).

Если lim k Pk	= l , то при l<1 ряд			∞						∞
Если lim k Pk	= l , то при l<1 ряд			∑Рk сходится, при l>1 ряд ∑Рk расходится, а
k →∞				k =1						k =1
при l=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Теорема 6.11. Признак Раабе.						∞
						∞
Пусть дан ряд с положительными членами ∑Рk .
						k =1
1. Если для всех номеров к или, по крайней мере, начиная с некоторого номера
справедливо неравенство
				Pk +1
				Pk +1		>1,				(6.26)
				P
			k 1−	P	≥ q
				k
∞
то ряд ∑Рk сходится.
k =1
								Pk+1		∞
2. Если начиная хотя бы с некоторого k > k0							−	Pk+1

						k 1		Pk	≤1, то ряд ∑Рk расходится.
								Pk		k=1
Следствие теоремы 6.11 (признак Раабе в предельной форме).
		Pk+1			∞					∞
	−	Pk+1					сходится,			при l<1 ряд ∑Рk расхо-

Если lim k 1			= l , то при l>1 ряд ∑Рk
k→∞		Pk			k =1					k =1
дится, а при l=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Теорема 6.12. Интегральный признак Коши – Маклорена.
						∞
Пусть дан ряд с положительными членами ∑Рk . Рассмотрим функцию f(x), удов-
						k =1

летворяющую на полупрямой х ≥ т(т любой фиксированный номер) следующим усло-

виям:		f(x) неотрицательна ( f (x) ≥ 0) .
1.		f(x) неотрицательна ( f (x) ≥ 0) .
2.		f(x) не возрастает ( f (x1 ) ≥ f (x2 )	при x1 < x2 .
						∞
3.		значения этой функции при	х=к совпадают с	членами данного	ряда	∑Рk
(f (x)	x=k = f (k) = Pk ).					k =1
			∞		∞



	Если несобственный интеграл первого рода ∫ f (x)dx			сходится, то ряд	∑Рk	также
			m		k =1
		∞		∞
сходится. Еслинесобственныйинтеграл ∫ f (x)dx расходится, торяд ∑Рk такжерасходится.
		m		k =1

216

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Ниже приведем геометрическое истолкование этой теоремы (см. рис. 6.1)

Рис. 6.1.

Заметим, что несобственный интеграл ∞∫ f (x)dx выражает площадь криволинейной

трапеции. Ряд

∞

∑Рk = P1 + P2 +K+ Pn +K= P1 + f (2) + f (3) +K+ f (n) +K=

k=1

= P1 + f (2) 1 + f (3) 1 +K+ f (n) 1 +K= P1 + S1 + S2 +K+ Sn−1 +...,

где S1 , S2 ,KSn−1 ,... есть площади входящих в криволинейную трапецию прямоугольников.

Если площадь криволинейной трапеции конечное число, то есть ∞∫ f (x)dx сходится, то подав-

∞

но конечна площадь заключенной вней ступенчатой фигуры, то есть ряд ∑Рk сходится.

k =1

Если же площадь криволинейной трапеции бесконечно большая величина, то есть

∞∫ f (x)dx расходится, то площадь ступенчатой фигуры также бесконечно большая величи-

∞

на, то есть ряд ∑Рk расходится.

k=1

Вкачестве применения интегрального признака изучим поведение обобщенного

∞

гармонического ряда ∑

при

α > 0 . Для этого рассмотрим по отдельности случаи

k =1

α =1, 0 <α <1, α >1.

∞

1. При α =1 имеем ряд ∑

k =1

Тогда по интегральному признаку получим

∞ f (x)dx = ∞ dx

= lim A dx

= lim(ln

−ln1)= ∞.

1 x

∫

A→∞ ∫

A→∞

∞

Отсюда следует, что ряд ∑

расходится (этот результат уже был получен крите-

k =1 k

рием Коши в пункте 6.2).

217

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞

2. При 0 < α ≠ 1 имеем ряд ∑

. Тогда по интегральному признаку получим

k =1

∞

∞ dx

−α

x −α+1

f (x)dx =

= lim

dx = lim

∫

∫xα

A→∞ ∫

A→∞ − α +1

(6.28)

−α+1

= lim

A→∞ − α +1

α −1

∞

Очевидно, что при 0 <α ≠1 (6.28) стремится к бесконечности и ряд ∑

расхо-

k =1

∞

дится, а при α >1 (6.28) стремится к конечному числу и ряд ∑

сходится.

k =1

∞

сходится

при

α >1,

В итоге имеем ∑

−

расходится

при 0 < α ≤1.

k =1

Теорема 6.13. Признак Гаусса.

Рк

∞

Допустим, что для ряда ∑Рk

отношение

может быть представлено в виде

k =1

Pk +1

= λ +

+ θn

(6.29)

k+1

где λ и µ постоянные, а θn есть ограниченная величина (

θn

≤ l , l – конечное число). Тогда

∞
ряд ∑Рk сходится, если λ>1 или если λ=1,	µ>1, и расходится, если λ<1 или λ=1, µ ≤1 .
k =1

6.4. Числовые ряды с произвольными членами. Достаточные признаки сходимости

∞

Определение 6.6. Если члены Uk ряда ∑Uk имеют произвольные знаки, то ряд

k =1

∞

∑Uk называется рядом с произвольными членами.

k =1

∞

Определение 6.7. Ряд с произвольными членами ∑Uk называется абсолютно схо-

				k =1
∞
дящимся, если сходится ряд ∑	U k	.
дящимся, если сходится ряд ∑	U k	.
k =1
		∞		∞
Теорема 6.14. Из сходимости ряда ∑			U k	следует сходимость ряда ∑Uk .
Теорема 6.14. Из сходимости ряда ∑			U k	следует сходимость ряда ∑Uk .
		k =1		k =1

∞

Доказательство. По условию теоремы ряд ∑U k сходится. Согласно критерию

k =1

Коши (см теорему 6.1) это означает, что

218

РАЗДЕЛ VI. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

( ε > 0)( N = N (ε) N ) : (n ≥ N (ε)) ( p N )

n+ p			n+ p			(6.30)
∑	U k	< ε или	∑	U k	< ε.


k =n+1			k =n+1

n+p

Оценим ∑ Uk , пользуясь (6.30) и тем, что модуль суммы нескольких слагае-

k=n+1

мых не превосходит суммы их модулей. Имеем

	n+p		n+p
	∑	Uk	≤ ∑	Uk	<ε	(6.31)
	∑	Uk	≤ ∑	Uk	<ε	(6.31)
	k =n+1		k =n+1
					∞
при n ≥ N(ε) . А по критерию Коши (6.31) означает, что ряд ∑Uk						сходится.

k =1

Теорема доказана.

∞

Определение 6.8. Ряд ∑Uk называется условно сходящимся, если он сходится, в

k =1

∞

то время, как соответствующий ряд из модулей ∑U k расходится.

k =1

Теорема 6.15.(теорема Римана).

∞

Если ряд ∑Uk с произвольными членами сходится условно, то каково бы ни было

k =1

наперед взятое число L, можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу L.

∞

Теорема 6.16. Если данный ряд ∑Uk с произвольными членами сходится абсо-

k =1

лютно, то любой ряд, полученный из данного ряда посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.

∞

sin k

Пример 6.1. Исследуем на сходимость ряд с произвольными членами ∑

Решение. Составим ряд из модулей

k =1

∑ sin2k = ∑ sin2k .

∞

k =1

Этот ряд является рядом с положительными членами. Так как

sin k

≤

(6.32)

k 2

∞

k 2

а ряд ∑

сходится (см. пункт 6.3), то по первому признаку сравнения (см. теорему 6.7)

k=1

∞

sin2k

сходится. Тогда по теореме 6.14 исходный ряд также сходится.

ряд ∑

k =1

219

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3322 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20153.06 Mб20мат мет.doc
#
05.06.201520.22 Кб10МАТ.АНАЛИЗ.docx
#
05.06.2015297.47 Кб105мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ.doc
#
05.06.2015166.91 Кб13Математика-1.doc
#
05.06.20152.97 Mб26Математический анализ для экономистов.doc
#
05.06.20154.32 Mб75Математический анализ.pdf
#
05.06.2015429.57 Кб20материалы для курсового лекции.doc
#
05.06.20151.76 Mб264Матлогика Пономарев.pdf
#
05.06.2015113.15 Кб11медиабизнес.doc
#
05.06.20155.68 Mб50Медиарекламные исследования.pdf
#
20.09.2019152.01 Кб2межд право ответы.docx