Математический анализ

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

где Z, X, Y являются текущими координатами нормали.

3.7. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

Пусть функция двух независимых переменных U=U(x,y) дважды дифференцируема точке M(x,y). Дифференциал первого порядка этой функции, как нам известно, выражается формулой

Очевидно, что dU также является функцией переменных х, у и dх, dу. Вычислить дифференциал от dU, то есть дифференциал второго порядка d(dU)=d2U.

Теперь согласно (3.11) и с учетом того, что d2x=0, d2y=0 (x и у независимые переменные и dx=const, dy=const), а смешанные производные второго порядка равны (функция U(x,y) дважды дифференцируема) последнее выражение можно преобразовать к виду

90

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Если функция U=U(x1, x2, ..., xm) m независимых переменных n раз дифференцируема в точке M(x1, x2, ..., xm), то дифференциал этой функции порядка n вычисляется по формуле:

Символические записи вычисления дифференциалов второго порядка (3.37) и порядка n (3.38) означают, что мы раскрываем скобки по биному Ньютона, взяв dx1, dx2, ..., dxm в соответствующих степенях, а частные производные от U(x,y) соответствующих порядков. Например, если U=U(x,y) то

Теперь рассмотрим функцию m переменных U=U(x1, x2, ..., xm), где в свою очередь переменные x1, x2, ..., xm зависят еще от k переменных x1=x1(t1,t2,...,tk), x2=x2(t1,t2,...,tk), ...,

xm=xm(t1,t2,...,tk).

Так как в этом случае dx1, dx2, ..., dxm не являются непостоянными числами, то дифференциалы высших порядков от функции U(x1,x2,...,xm) будут отличаться от дифференциалов высших порядков функции U(x1,x2,...,xm) в случае независимых переменных

x1,x2,...,xm.

Например, если U=U(x,y) и x=x(t1,t2) и y=y(t1,t2), то

3.8. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Теорема 3.6. Если функция U=U(M)=U(x1, x2, ..., xm) m переменных n+1 раз дифференцируема в некоторой ε окрестности точки M0(x10, x20, ..., xm0), то полное приращение ∆U=U(M)-U(M0) этой функции для произвольной точки М из указанной ε окрестности точки М0 может быть представлено в форме:

где N Есть некоторая зависящая от M(x1, x2, ...,xm) точка указанной ε окрестности точки М0, а дифференциалы dxi (i=1,2,...,m), входящие в (3.40), равны xi-xi0.

Разложение (3.40) называется формулой Тейлора для функции U=U(M) с центром в точке М0.

Пример. Функцию z=xy разложить по формуле Тейлора вокруг точки (1;1), ограничиваясь членами да второго порядка включительно.

91

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3.9. Локальный экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция U=U(x1, x2, ..., xm) задана на множестве {M}, а M0(x10, x20, ..., xm0),

есть некоторая точка этого множества.

Определение 3.16. Функция U=U(x1, x2, ..., xm) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если найдется такая δ окрестность точки М0, в пределах которой значение этой функции в точке М0 U(M0) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.

Локальный максимум и локальный минимум объединяются под общим названием локального экстремума. Если функция U(M) в точке М0 имеет локальный экстремум, то полное приращение ∆U=U(M)-U(M0) этой функции в точке М0 (М – любая точка из указанной δ-окрестности точки М0) удовлетворяет одному из условий:

Очевидно и обратное: если в точке М0 удовлетворяются (3.42), то в этой точке функция U(M) имеет локальный максимум или локальный минимум.

Теорема 3.7 (необходимые условия экстремума).

Если функция U=U(x1, x2, ..., xm) в точке М0 имеет локальный экстремум и в этой точке существуют частные производные этой функции первого порядка, то все они в точке М0 равны нулю,

Заметим, что необходимые условия экстремума (3.43) можно переписать в виде:

92

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Отметим, что условия (3.43) (или 3.44) являются только необходимыми, и не достаточными условиями локального экстремума. Например, для функции U=xy в точке М0(0;0) имеем

но эта функция, как будет показано далее, в точке М0(0,0) не имеет локального экстремума. Ниже перейдем к рассмотрению достаточных условий экстремума для функции

двух переменных U=U(x,y).

Теорема 3.8 (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть функция U=U(x,y) один раз дифференцируема в окрестности точки М0(х0,у0)

и два раза дифференцируема в самой точке М0 и пусть М0 является точкой возможного экстремума. Тогда если в точке М0(х0,у0) выполнено условие

если А=0, то ничего определенного об экстремуме сказать нельзя и требуется дополнительное исследование.

Заметим, что для рассмотренной выше функции U=xy в точке М0(0;0) имеем

и

A = 10 10 = −1 < 0 ,

что означает отсутствие экстремума в точке М0(0;0).

3.10.Условный экстремум функции нескольких переменных

Впункте 3.9 мы занимались отысканием локальных экстремумов функции нескольких переменных, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями. Но часто встречаются задачи, где нужно искать экстремумы функции, аргументы которой удовлетворяют условиям связи. Экстремумы такого рода называются условными экстремумами.

Пусть имеем функцию двух переменных U=U(x,y). Нужно найти экстремумы этой функции при условии связи

то есть нужно исследовать функцию U=U(x,y) на условный экстремум.

Можно показать, что отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа

93

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

где λ – неопределенный множитель Лагранжа.

Пользуясь необходимым условием экстремума (3.43) и условием связи (3.46), имеем

Решая систему уравнений (3.48) относительно трех переменных x, y, z, найдем λ и точки возможного экстремума. Далее с помощью условий (3.45) исследуем каждую стационарную точку на экстремум.

Пример. Найти экстремум функции U=x2+y2 (параболоид вращения) при условии, что х и у удовлетворяют уравнению связи х+у-1=0 (прямая).

Другими словами, мы должны искать экстремум функции не на всей плоскости х0у, а на прямой х+у=1 (рис. 3.3).

z

x

Рис. 3.3.

Решение. Функция Лагранжа имеет вид

ψ(x,y)=x2+y2+λ(x+y+1).

Согласно (3.48)

94

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

имеет минимум, а функция U=x2+y2 в точке ( 12 , 12 ) имеет условный минимум, причем

1 1 1

Umin= 4 + 4 = 2 .

В заключение этого пункта отметим, что наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области ищем так: находим максимумы и минимумы этой функции в данной области, определяем значения этой функции на границах области и в конечном счете среди максимумов, минимумов и значений на границах выбираем наибольшее и наименьшее значения.

95

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Примеры

Ответ: d 2 z = 2eU 2 −V 2 [(2U 2 +1)dU 2 − 4UVdUdV + (2V 2 −1)dV 2 ].

Пример 2. Пусть дана поверхность (параболоид вращения) уравнением z=x2+y2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке М(1,2,5).

Решение: Учитывая, что

из (3.33) и (3.34) для касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке М(1,2,5) получим следующие уравнения

96

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2+y2-xy+x+y в

области x≤0, y≤0, x+y≥-3.

Решение: Сначала исследуем заданную функцию на обычный экстремум внутри заданной области (в треугольнике (рис. 3.4)).

Согласно (3.43) имеем

Решая эту систему уравнений, получим xэ = -1, yэ = -1. Итак, имеем единственную точку М(-1,-1) возможного экстремума внутри треугольника. Теперь пользуемся достаточным условием (3.43).

Учитывая, что