Математический анализ

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Как видно из рисунка 5.2, верхняя сумма Дарбу S равна площади ступенчатой фигуры, которая содержит криволинейную трапецию, а нижняя сумма Дарбу s равна площади ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции.

Ниже приведем основные свойства сумм Дарбу (5.5.) без доказательства.

1. Для любого фиксированного разбиения Т сегмента [a,b] и для любого ε>0 промежуточные точки ξi на сегменте [xi-1; xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi,ξi} будет удовлетворять неравенствам

2. Если разбиение Т′ сегмента [a,b] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента, то верхняя сумма Дарбу S′ разбиения Т′ не больше верхней суммы S разбиения Т, а нижняя сумма Дарбу s′ разбиения Т′ не меньше нижней сум-

4. Множество {S} верхних сумм Дарбу данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [a,b] ограничено снизу, а множество {s} нижних сумм Дарбу ограничено сверху.

5.3. Интегрируемость функций. Свойства определенного интеграла

Определение 5.2. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b], если существует определенный интеграл от функции f(x) по сегменту [a,b] (т.е. су-

b

ществует ∫f(x)dx ).

a

Теорема 5.1 (необходимое и достаточное условие интегрируемости).

Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], что

Заметим, что условие (5.10) можно записать и в другой форме. Пусть Mi=sup{f(x)} и mi=inf{f(x)} являются точными верхней и нижней гранями функции f(x) на сегменте [xi- 1,xi]. Так как Mi-mi≥0 то величина ωi=Mi-mi, называется колебанием функции f(x) на сегменте [xi-1,xi], не отрицательно, т.е. ωi≥0. Тогда согласно (5.5) имеем

130

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Поскольку ωi ≥ 0 и ∆х>0, то каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно, условие (5.10) можно переписать в виде:

i=1

Теорема 5.2. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то она интегрируема на этом сегменте.

Теорема 5.3. Если функция f(x) определена и ограничена на сегменте [a,b] и если для произвольного ε>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва первого рода этой функции и имеющих общую сумму длин меньше ε, то функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b].

Теорема 5.4. Монотонная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сег-

менте.

Доказательство. Теорему докажем для случая монотонно неубывающей функции f(x) (xi ≥ xi-1 f(xi) ≥ f(xi-1)) в предположении, что f(b)≠f(a) (в случае f(b)=f(a) справедли-

вость теоремы очевидна, так как удовлетворяется достаточное условие интегрируемости

(см. (5.10)).

Очевидно, что монотонная функция f(x) ограничена на [a,b], так как ее значения заключены между f(a) и f(b) (f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)).

Возьмем произвольное положительное число ε>0 и разобьем сегменты [a,b] на рав-

ε

ные части, длины которых меньше f(b)− f(a ), т.е.

Для этого разбиения оценим разность

S−s = ∑ωi ∆xi

i=1

сучетом того, что для неубывающей монотонной функции f(x) на сегменте [a,b] имеемn

n

∑ωi =ω1+ω2+...+ωn=(M1-m1)+(M2-m2)+...+(Mn-mn)=f(b)-f(a). (5.13)

i=1

Нетрудно заметить, что согласно (5.12) и (5.13) имеем оценку

n

S −s = ∑ωi ∆xi <ε.

i=1

Теорема доказана.

Ниже приведем некоторые основные свойства определенного интеграла без доказательств.

131

5.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

1.Определенный интеграл от интегрируемой функции f(x) в пределах от а до а равен нулю, т.е.

a

2. При перестановки пределов интегрирования в определенном интеграле знак интеграла меняется на обратное, т.е. если a<b и f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то

aa

3.Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте [a,b], то функции f(x) + ϕ(х)

иf(x) - ϕ(х) также интегрируемы на сегменте [a,b] и

4. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то c f(x), где с=const, также интегрируема на сегменте [a,b] и

5.Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то она интегрируема на любом другом сегменте [c,d], содержащемся в сегменте [a,b].

6.Если функция f(x) интегрируема на сегментах [a,c] и [c,b], то она интегрируема

ина сегменте [a,b], причем

7. Если интегрируемая на сегменте [a,b] функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл о этой функции в пределах от а до b также неотрицателен, т.е.

132

5.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

11.Если функции f(x) и ϕ(х)≥0 интегрируемы на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{ϕ(x)} на этом сегменте, то справедливы неравенства

Теперь перейдем к получению формул среднего значения определенного интеграла.

Теорема 5.5. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{f(x)} являются точными гранями функции f(x) на этом сегменте, то найдется такое число µ, удовлетворяющего неравенству m ≤ µ ≤ M, что

представляет собой формулу среднего значения определенного интеграла.

Теорема 5.6. Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{f(x)} и, кроме того, ϕ(х)≥0 (или ϕ(х)≤0) на всем сегменте [a,b], то най-

дется между m и М такое число µ, что

В частности, если f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то на этом сегменте существует такое число ξ, что

(5.27) представляет собой формулу среднего значения в обобщенной форме.

5.4. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

Определение 5.3. Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале (а,b), и пусть с есть некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда для произвольного х (a,b) функция f(x) интегрируема н сегменте [c,x]. Поэтому на интервале (a,b) определена функция

c

которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

133

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Теорема 5.7. Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция (5.28).

Доказательство. Достаточно доказать, что для фиксированного х из интервала (a,b)

В силу свойства 6 определенного интеграла (см. 5.18) с учетом (5.28) имеем

что и требовалось доказать.

Теперь перейдем к получению формулы Ньютона-Лейбница для вычисления опре-

b

деленного интеграла ∫f(x)dx , основываясь на теорему (5.7).

a

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a,b]. Обозначая через Ф(х) любую из первообразных этой функции на [a,b], согласно теореме (5.7) имеем

a

Если теперь подставим в (5.34) х=b, то получим Ф(b)= ∫b f (x)dx + c = ∫b f (x)dx + Ф(а)

или

134

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

a

что представляет собой и формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Принято (5.36) переписать и в другом виде:

a

Теорема 5.8. Если функции f(x) и ϕ(t) удовлетворяют следующим условиям:

1.функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a,b];

2.функция x=ϕ(t) определена на сегменте [α,β] и имеет непрерывную производную на этом сегменте;

3.ϕ(α)=a, ϕ(β)=b;

4.сегмент [a,b] является множеством значений функции ϕ(t), то справедлива формула

которая называется формулой замены переменной под знаком определенного интеграла. В заключение этого раздела приведем формулу интегрирования по частям для оп-

ределенного интеграла

5.5.Вычисление длин дуг плоских кривых

Вэтом пункте перейдем к рассмотрению вопроса о применении определенного интеграла для вычисления длины дуги плоской кривой.

Определение 5.4. Множество {M} всех точек М, координаты х и у которых определяются уравнениями x=ϕ(t), y=ψ(t), будем называть простой плоской кривой L, если различным значениям параметра t из сегмента [α,β] отвечают различные точки этого множества (кривая L не имеет точек самопересечения и участков самоналегания). При этом, если длина l кривой L конечное число, то кривая L называется спрямляемой.

1. Пусть плоская спрямляемая кривая L задана параметрически уравнениями x=ϕ(t), y=ψ(t), t [α,β] и ϕ′(t), ψ′(t) непрерывные функции. Можно доказать, что в этом случае длину l кривой L можно выразить по формуле

αα

2.Пусть плоская спрямляемая кривая L задана уравнением y=f(x) на сегменте

x [a,b] и пусть f′(x) непрерывна на этом сегменте (рис. 5.3).

135

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

y

y=f(x)

0 a b x

3. Пусть плоская спрямляемая кривая L задана в полярной системе координат полярным уравнением

ρ=ρ(θ), θ [θ1, θ2]

и пусть функция ρ′(θ) непрерывна на сегменте [θ1, θ2] (см. рис. 5.4).

y

ρ=ρ(θ)

θ2

θ1

Рис. 5.4.

Так как декартовые координаты x,y связаны с полярными координатами θ, ρ соотношениями:

x=ρ(θ)cosθ,

136

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Подставляя (5.55) в (5.40) с учетом того, что x′(θ)=ϕ′(θ)=ρ′(θ)cosθ-ρ(θ)sinθ,

y′(θ)=ψ′(θ)=ρ′(θ)sinθ-ρ(θ)cosθ, (5.56)

после несложные преобразований получим формулу для вычисления длины в кривой l в полярной системе координат в виде

5.6. Вычисление площадей плоских фигур

Ниже покажем, как с помощью определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур (об этом уже было упомянуто в пункте 5.1).

Определение 5.5. Часть плоскости, ограниченной плоской спрямляемой замкнутой кривой L с нулевой площадью называется квадрируемой плоской фигурой, т.е. плоской фигурой имеющей конечную площадь.

Рассмотрим некоторые конкретные случаи квадрируемых фигур.

1.Квадрируемая фигура (криволинейная трапеция) ограничена графиком непрерывной и неотрицательной функции y=y(x), заданная на сегменте [a,b], прямыми x=a и x=b и отрезком оси Ох между точками а и b (рис. 5.5)

y

у(х)

Рис. 5.5.

Тогда площадь этой криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определенного интеграла формулой (см. также пункт 5.1)

a

2. Квадрируемая фигура ограничена графиками непрерывных и неотрицательных функций y1=y1(x) и y2=y2(x) (y2(x)≥y1(x)) и прямыми x=a и x=b (рис. 5.6).

137

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

y

y2 (x)

Тогда площадь этой криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определенного интеграла формулой

3. Квадрируемая фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной функции y=y(x), прямыми x=a и x=b и отрезком оси 0х между точками а и b (рис. 5.7).

у

y(x

Рис. 5.7.

Тогда площадь этой фигуры можно вычислить определенным интегралом формулой

a

4. Квадрируемая фигура ограничена графиком непрерывной и неотрицательной функции x=x(y), заданная на сегменте [c,d], прямыми y=c и y=d и отрезком оси 0y между точками c и d (рис. 5.8.)

138

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

y

d

x(y)

c

В этом случае площадь этой фигуры выражается формулой:

c

Отметим, что если в рассмотренных случаях уравнения кривых заданы не в явном виде, а в параметрической форме x=x(t), y=y(t), t [α,β], то для вычисления соответствующих площадей можно пользоваться формулами (5.58)-(5.61) с последующим переходом к переменной t [α,β].

5. Квадрируемая фигура (криволинейный сектор) ограничена графиком непрерывной и неотрицательной функции ρ=ρ(θ), заданная на сегменте [α,β] в полярной системе координат и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β (рис. 5.9).

ρ(θ)

βα

Рис. 5.9.

Можно показать, что площадь подобного криволинейного сектора с помощью определенного интеграла выражается формулой:

139