Математический анализ

РАЗДЕЛ IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Рис. 4.2.

4.2. Формула Грина

Теорема 4.1. Пусть L замкнутый и простой (без самопересечений и самоналеганий) контур, охватывающий область D и пусть функции P( x, y ), Q( x, y ) определены и не-

прерывны вместе со своими частными производными в области D, включая границу L (см.

рис. 4.3.)

Рис. 4.3.

Тогда имеет место формула Грина

которая связывает двойной интеграл по области D с криволинейным интегралом второго рода по замкнутому контуру L, охватывающего область D.

Доказательство: Рассмотрим область D, которая ограничена кривыми y =ϕ(x), y =ψ(x) и прямыми х = а, х = b. (см. рис. 4.4.)

Рис. 4.4.

190

РАЗДЕЛ IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Применив формулу сведения двойного интеграла к повторному, получаем равенства

Складывая (4.12) и (4.13), получим формулу Грина (4.11).

Замечание 4.1. Формула Грина справедлива и для многосвязной области (например, рис. 4.5. – двусвязная область).

Рис. 4.5.

Замечание 4.2. Если в области (D) удовлетворяется условие ∂Q(x, y) = ∂P(x, y) , то

∂x ∂y

криволинейный интеграл второго рода ∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy не зависит от пути интег-

( AB)

рирования, а зависит только от начальной точки А и от конечной точки В.

191

РАЗДЕЛ IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пример 4. Вычислить

J = ∫( x + 3y )dx +( y + 3x )dy ( AB )

где А(1;1) и В(2;3).

Решение: Этот интеграл не зависит от пути интегрирования, так как

192

РАЗДЕЛ IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Выберем (ради простоты) ломаную со звеньями параллельными осям координат.

у

В(2,3)

193

РАЗДЕЛ IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3. ∫ydx −( y + x2 )dy , где АВ – дуга параболы, пробегаемая по ходу часовой стрел-

( AB)

4. ∫(x 2 ydx + x3dy), L – замкнутыйконтур, ограниченныйпараболамиy2 = x, x2 = y.

194

РАЗДЕЛ V. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Раздел V. Элементы теории поля

5.1. Поверхностные интегралы первого и второго родов

Рассмотрим гладкую поверхность (S) в декартовой трехмерной системе координат, которая описывается уравнением z = z(x, y), где z(x, y) задана в некоторой области (D) плоскости ХОУ((D) является проекцией поверхности (S) на плоскости ХОУ). (см. рис. 5.1)

Рис. 5.1.

Пусть п есть нормаль этой поверхности в точке М0, направленная в сторону положительных z.

Определение 5.1. Если при обходе замкнутого контура на поверхности (S), исходящего из точки М0 и приходящего в точку М0 и не пересекающего границы поверхности, мы, выйдя из М0, придем в М0 с направлением нормали обратным направлению нормали в начале в этой же точке М0, то поверхность называется односторонней (лист Мебиуса). В противном случае поверхность называется двусторонней (рис. 5.1).

Верхней стороной двусторонней поверхности (S) (см. рис. 5.1.) считается сторона поверхности, направленная в сторону положительных z.

Нижней стороной поверхности считается сторона поверхности, направленная в сторону отрицательных z.

Определение 5.2. Направление обхода замкнутого контура на двусторонней поверхности считается положительным, если с конца нормального вектора этот обход виден против часовой стрелки.

Пусть в точках некоторой двусторонней поверхности (S), ограниченной гладким контуром, определена функция f(x, y, z). Разобьем (S) с помощью сети произвольно проведенных гладких кривых на части (S1 ), (S2 ),K, (Si ),K, (Sn ) . Взяв в i-ой части (Si )(i =1,2,..., n) про-

извольную точку Mi (ξi ,ηi ,ζi ) , вычислим значение f (ξi ,ηi ,ζi ) (рис. 5.2).

195

РАЗДЕЛ V. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Рис. 5.2.

Умножая его на площадь ∆Si i-ой части, составим интегральную сумму

max di → 0 , где di – диаметр i-ой части, то этот предел называется поверхностным инте-

Отметим, что значение поверхностного интеграла первого рода не зависит от выбора стороны поверхности (S), по которой производится интегрирование.

Если поверхность (S) задана явным уравнением z = z(x, y) и проекция (D) этой поверхности на плоскости ХОУ однозначна, то

где коэффициенты Гаусса E, G, F имеют вид

196

РАЗДЕЛ V. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Рассмотрим двустороннюю гладкую поверхность (S) и фиксируем какую-либо из двух ее сторон. На верхней стороне поверхности (S) замкнутой кривой приписывается направление обхода против часовой стрелки, если смотреть с конца нормали п к поверхности, а на нижней – наоборот.

Пусть поверхность (S) задана явным уравнением z = z(x, y), причем (x, y) изменяются в области (D) на плоскости ХОУ. Если фиксирована верхняя сторона поверхности (S), то площадь проекции (D) будем брать со знаком плюс, если фиксирована нижняя сторона поверхности, то площадь проекции (D) будем брать со знаком минус. (рис. 5.3.)

Рис. 5.3.

Пусть на поверхности (S) (рис. 5.2) определена функция f(x, y, z). Разложив поверхность (S) сетью гладких кривых на части (S1 ), (S2 ),K,(Si ),K,(Sn ) , выберем в части

(Si ) произвольную точку Mi (ξi ,ηi ,ζi ) и вычислим f (ξi ,ηi ,ζi ) . Умножим последнее на площадь ∆Di проекции ( Di ) на плоскости ХОУ части поверхности (Si ) , снабженную знаком по указанному выше правилу и составим интегральную сумму

max di → 0 , где di – диаметр i-ой части, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода

197

РАЗДЕЛ V. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Заметим, что, так как в записи (5.7) не отмечается, какую именно сторону поверхности имеем в виду, то каждый раз приходится делать указание на это. Отметим также, что при замене рассматриваемой стороны поверхности противоположной стороной, интеграл меняет знак.

По аналогии (5.7) рассматриваются и следующие поверхностные интегралы второго рода

Если поверхность (S) задана явным уравнением z = z(x, y), а поверхностный интеграл берется по верхней стороне поверхности (то есть все ∆Di в интегральной сумме

больше нуля), то

Если поверхностный интеграл распространяется на нижнюю сторону поверхности, то имеем

Нетрудно установить связь между поверхностными интегралами первого и второго

родов

5.2. Формула Гаусса-Остроградского

Рассмотрим тело (V), ограниченное гладкими поверхностями

и цилиндрической поверхностью ( S3 ), образующие которой параллельны оси OZ (рис. 5.4). Допустим, что в области (V) определена функция R(x, y, z), непрерывная вместе со своей

производной ∂∂Rz в области (V), включая ее границу (S) = (S1 ) (S2 ) (S3 ) (рис. 5.5).

198

РАЗДЕЛ V. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

(v)

Рис. 5.4.

Рис.5.5.

Покажем, что тогда имеет место формула

∫∫R(x, y, z)dxdy = 0

(S3 )

так как поверхностный интеграл второго рода по (S3 ) распространяется на нижнюю сторону поверхности (S3 ) и проекция поверхности (S3 ) на плоскость ХОУ равна нулю.

199