Математический анализ

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Теорема 2.18. Если на интервале (a;b) функция f(x) дважды дифференцируема и f′′(x) неположительна (неотрицательна), то график функции f(x) на (a;b) имеет выпуклость направленную вверх (вниз) (рис. 2.7).

Определение 2.13. Точка (x0,f(x0)) графика функции f(x) называется точкой перегиба, если существует окрестность точки х0, в которой график функции слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпуклости. В такой точке график функции переходит через касательную (рис. 2.8).

f(x)

(x0 ,f(x0 ))

Теорема 2.19. (необходимое условие точки перегиба).

Если точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба графика функции f(x), которая в этой точке имеет непрерывную производную второго порядка f′′(x), то f'' (x)x=x0 = 0 .

Доказательство.

Дано: точка М0(х0,f(x0)) – точка перегиба. Доказать: f'' (x)x=x0 = 0 .

Предположим, что f'' (x)x=x0 ≠ 0 . Тогда в некоторой окрестности точки х0 f′′(x) со-

хранит знак, а, следовательно, слева и справа от точки х0 выпуклость графика будет иметь одинаковое направление и точка М0(х0,f(x0)) не будет точкой перегиба. Значит предполо-

жение f'' (x)x=x0 ≠ 0 ложно, в то время как f'' (x)x=x0 = 0 – истинно.

Теорема 2.20. (достаточное условие точки перегиба).

Если функция f(x) дифференцируема в точке х0 и дважды диффернцируема в некоторой δ окрестности этой точки, и если слева и справа от точки х0 f′′(x) имеет разные знаки, то точка М0(х0,f(x0)) для графика функции f(x) является точкой перегиба.

Доказательство.

Дано: f(x) C′(x0), f(x) C′′(Uδ(x0)),

f′′(x<x0)>0 и f′′(x>x0)<0, или f′′(x<x0)<0 и f′′(x>x0)>0.

Доказать: М0(х0,f(x0)) – есть точка перегиба.

Так как функция f(x) дифференцируема в точке х0, то график функции f(x) в точке М0(х0,f(x0)) имеет касательную. Смена знака у f′′(x) при переходе через точку х0 говорит о том, что слева и справа от этой точки выпуклость графика имеет разные направления. Т.е. точка М0(х0,f(x0)) является точкой перегиба.

71

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Теорема 2.21. (достаточное условие экстремума и перегиба, связанное с высшими производными функции).

Пусть n – некоторое целое положительное число, и пусть функция y=f(x) имеет в некоторой окрестности точки х0 производную порядка n+1, причем указанная производная непрерывна в точке х0. Пусть, далее, справедливы следующие соотношения:

f(2)(x0)= f(3)(x0)=...= f(n)(x0)=0 и f(n+1)(x0)≠0.

Тогда, если n+1 – нечетное число, то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке

М0(х0,f(x0)). Если же n+1- четное число М, кроме того f′(x0)=0, то функция y=f(x) имеет локальные экстремум в точке х0, точнее, максимум, если f(n+1)(x0)<0, и минимум, если f(n+1)(x0)>0.

2.16. Асимптоты графика функции.

Схема исследования функции и построения ее графика

Из определения (2.14) следует, что если функция f(x) в точке х0 имеет вертикальную асимптоту, то она является для функции f(x) точкой разрыва второго рода.

Определение 2.15. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции f(x), если f(x)=kx+b+α(x), где α(х) – б.м.ф. при х→+∞ (х→-∞).

Заметим, что частным случаем наклонных асимптот являются горизонтальные асимптоты в случае, если к=0 (у=b).

Теорема 2.22. (необходимое и достаточное условия наклонной асимптоты). Прямая Y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой графика функции

72

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

что и требовалось доказать.

Доказать: f(x)=kx+b+α(x), где lim α(x) = 0 .

x→+∞

Из условия теоремы имеем

lim (f(x)− kx)= b f(x)− kx = b + α(x),

x→+∞

где α(x) – б.м.ф. при х→+∞. Следовательно, f(x)=kx+b+α(x), что и требовалось доказать.

Отметим, что геометрическое свойство любой ассиммптоты заключается в том, что расстояние между точками графика функции и точками прямой (асимптотой) стремятся к нулю при удалении от начала координат. График функции как бы “сливается” с прямой, бесконечно к ней приближаясь. Отметим также, что график функции может любое количество раз пересекать асимптоту.

Ниже приведем схему исследования функции f(x) и построения ее графика с помощью дифференциального исчисления, которая включает в себя выполнение следующих основных этапов:

1.Нахождение области определения функции, определение точек пересечения графика функции с осями координат, определение четности, нечетности, периодичности функции, нахождение точек разрыва функции.

2.Определение поведения функции на ±∞.

3.Нахождение асимптот графика функции (вертикальных, наклонных, горизон-

тальных).

4.Определение интервалов монотонности, точек экстремумов функции, нахождение значений функции в точках экстремумов.

5.Определение интервалов сохранения направления выпуклости графика функции, нахождение точек перегиба и значений функции в них.

Далее на основании проведенных исследований можно довольно точно представить график исследуемой функции.

73

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Примеры

Пример 1. Найти f '(x) с помощью определения производной, если а) f(x)=sin(x2), б) f(x)=ln(2x2+2).

Решение: а) Согласно определению 2.1 имеем

в) в неявном виде (3x+y-xyln3=15).

74

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Решение: а) пользуясь правилами дифференцирования элементарных и сложных функций, имеем

Отсюда, решая последнее относительно y' , получим

y' = yx−+y3−x+y .

3 x

Ответ: y' = yx−+y3−x+y .

3 x

Пример 3. Исследовать функцию f(x) и построить ее график, если:

а) f(x)= x2 +4 , б) f(x)= 3 x2 (x −5).

4x

при каком значении x и функция не определена при x=0, то график этой функции не пересекается с координатными осями Ox и Oy. Функция нечетная, так как

чала координат. Функция не является периодической. Точка x=0 есть точка разрыва второго рода.

75

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.Функция стремится к ± ∞ при x → ± ∞ , так как

3. График функции имеет вертикальную асимптоту x=0 (ось Оy), потому что