Математический анализ

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Рис. 2.4.

61

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.10.Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Обобщенная формула конечных приращений (теорема Коши)

ВэтомпунктетеоремуЛагранжаитеоремуКошисформулируемвсимволическойформе. Теорема 2.11. (теорема Лагранжа).

Формула (2.64) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Если ее записать для сегмента [x0,x0+∆x], где x0 [a,b], x0+∆x [a,b], то получим формулу конечных приращений в другом виде

где ξ (x0,x0+∆x).

Введя величину 0<θ<1 и имея ввиду, что ξ=х0+θ∆х, (2.65) можно переписать в виде

Отметим также, что на рисунке 2.5 приведена геометрическая иллюстрация теоремы Лагранжа.

y

Рис. 2.5.

62

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Теорема 2.12. (теорема Коши). [(f(x) C([a,b])) (g(x) C([a,b])) ( x (a,b)( f′(x)) ( g′(x))

Доказательство. Нетрудно заметить, что g(a)≠g(b). Если предположить, что g(a)=g(b), то по теореме Ролля ξ(a,b), где g′(ξ)=0. А это противоречит условию теоремы g′(x)≠0 для x (a,b).

Теперь, создавая вспомогательную функцию

F(x)= f (x)− f (a)− f ((b))− f ((a)) [g(x)− g(a)],

g b − g a

заметим, что для нее выполнены все условия теоремы Ролля. Последнее означает, что

ξ(a,b) такая, что F′(ξ)=0.

Отсюда

( ) f (b)− f (a ) ( )

f' ξ − g(b) g(a ) g' ξ = 0

−

Формула (2.67) называется обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши.

Взаключение этого пункта отметим, что формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши для g(x)=0.

2.11.Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя)

Впервом разделе при изучении вопросов, касающихся пределов функций, мы говорили о неопределенностях различных типов. Оказывается, что их раскрытие облегчается, если пользоваться правилом Лопиталя. Ниже приводится первое и второе правило Лопиталя без доказательств, причем они сформулируются в виде теорем в символической форме.

Теорема 2.13. (первое правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа

63

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Теорема 2.14. (второе правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа

Заметим, что если производные функций f(x) и g(x) до порядка n-1 обладают теми же свойствами, что и функции f(x) и g(x), то правила Лопиталя можно применить n раз, т.е.

дятся к изученным выше двум неопределенностям, к которым можно применить правила Лопиталя.

1. Неопределенность вида [0∞].

и дальше можно применить первое правило Лопиталя.

64

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.Неопределенности вида [1∞], [∞0], [00].

т.е. имеем неопределенность вида [∞0]. Чтобы раскрыть ее, сначала рассмотрим предел натурального логарифма от f(x)g(x), т.е.

Отсюда видно, что мы приходим к неопределенности вида [0 ∞], которую умеем раскрыть

с помощью правил Лопиталя. Аналогично поступаем и в случаях неопределенностей вида

[1∞] и [00].

65

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.12.Формула Тейлора с остаточным членом

вформе Шлемильха-Роша, Лагранжа, Коши и Пеано

Вданном пункте мы будем затрагивать вопросы, связанные с представлением функции y=f(x) в виде сумм степенных функций (аппроксимация функции y=f(x) степенными функциями). На эти важные для практики вопросы дает ответ теорема Тейлора, которую приведем без доказательства.

Теорема 2.15. Если функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка n+1 (n любой фиксированной номер), х есть любое значение аргумента из указанной окрестности, р есть произвольное положительное число, то между точками а и х найдется точка ξ такая, что справедлива формула

Формула (2.71) называется формулой Тейлора с центром в точке а, а (2.72) называется остаточным членом в форме Шлемильха-Роша.

Ниже приведем и другие формы остаточного члена Rn+1(x) в формуле Тейлора.

1. Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:

Отметим, что последняя форма Rn+1(x) показывает, что Rn+1(x) бесконечно малая при х→а более высокого порядка малости, чем (x-a)n.

66

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.13. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора с центром в точке а=0, т.е. формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х=0. Ниже приведем формулу Маклорена и разные виды остаточного члена Rn+1(x).

Итак имеем:

Пользуясь (2.76) можно без труда получить разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена. Ниже приведем эти разложения.

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

R n +1 (x) = (ne+θx1)! xn +1 ,

причем на любом сегменте [-ε; ε] (ε>0)

67

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

где остаточный член в форме Пеано имеет вид

R 2n +3 (x) = 0(x2n +3 ).

В заключении этого пункта отметим, что разложения элементарных функций по формуле Маклорена имеют большое практическое значение. Например, с их помощью можно вычислить пределы, интегралы, а также выполнить приближенные вычисления.

Так как в знаменателе старшая степень х – третья, то в числителе нужно учитывать степени, не выше третьей. Если пользоваться разложениями (2.81), (2.82), то получим

esin x =1+ x + 12 x 2 + 0(x3 ), etgx =1 + x + 12 x2 + 12 x3 + 0(x3 ).

Подставляя последние разложения в (2.86), имеем

Отметим, что при решении этого примера использование правила Лопиталя было бы затруднительным, в то время как применение формулы Маклорена опиралось только на известные разложения элементарных функций.

68

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.14. Интервалы монотонности и точки экстремума функции

Напомним, что функция называется возрастающей (убывающей) или строго монотонной в интервале, если в любой его точке при ∆х>0 ∆f(x)>0 (∆f(x)<0) или при ∆x<0 ∆f(x)<0 (∆f(x)>0). Для возрастающей функции ∆х и ∆f(x) одного знака, а для убывающей

– разных.

Функция называется неубывающей (невозрастающей) или монотонной на интервале, если в каждой его точке при ∆х>0 ∆f(x)≥0 (∆f(x)≤0) или при ∆х<0 ∆f(x)≤0 (∆f(x)≥0).

Теорема 2.16. (необходимое и достаточное условие монотонности функции на интервале).

Функция y=f(x), дифференцируемая на интервале, неубывает (невозрастает) или монотонна на этом интервале тогда и только тогда, когда ее производная f′(x)≥0 (f′(x)≤0) во всех точках интервала.

Теорему докажем для случая неубывающей функции (для невозрастающей функции теорема доказывается аналогично).

Необходимость.

Дано: f(x) неубывающая на интервале. Доказать: f′(x)≥0 на интервале.

Так как функция y=f(x) неубывающая, то в каждой точке интервала справедливо неравенство ∆∆f (xx) ≥ 0 .

Следовательно, lim ∆∆f (xx) = f ′(x)≥ 0 .

Достаточность:

Дано: f′(x)≥0 на интервале.

Доказать: f(x) неубывающая на интервале.

Запишем приращение функции ∆f(x), используя формулу Лагранжа (2.66), переписав ее в виде

∆f(x)=f′(x+θ∆x)∆x, (0<θ<1).

Отсюда видно, что если ∆х>0 и f′(x)≥0, то ∆f(x)≥0, а если ∆х<0 и f′(x)≥0, то ∆f(x)≤0. Таким образом, при f′(x)≥0 функция f(x) неубывающая.

Теорема 2.16. указывает на то, что знак производной характеризует поведение функции, ее возрастание (неубывание) или убывание (невозрастание). Другими словами смена знака производной функции является признаком изменения характера поведения функции в этом аспекте. Точки, в которых непрерывная функция от возрастания переходит к убыванию или наоборот, и являются точками экстремума.

Заметим, что если в точке х0 функция f(x) имеет экстремум и она дифференцируема в точке х0, то, как уже было показано ранее (см. теорему Ферма 2.9), f′(x)=0. Но можно привести пример и функций, непрерывных и не дифференцируемых в точке х0 и имеющих экстремум в точке х0.