belyuchenko_i_s_smagin_a_v_i_dr_analiz_dannykh_i_matematiche

Таблица 16.8 – Третья симплексная таблица

И на этот раз критерий оптимальности не выполнен; пятый столбец и вторая строка разрешающие, а25 = 5 – разрешающий элемент. Приходим к таблице 16.9.

Таблица 16.9 – Четвертая симплексная таблица

Критерий оптимальности выполнен, значит Fmax = 24, оптимальное базисное решение (6; 4; 0; 0; 1; 3).

Прибыль предприятия принимает максимальное значение 24 руб. при реализации 6 единиц продукции Р1 (х1 = 6) и 4 единиц продукции Р2 (х2 = 4). Дополнительные переменные х3, х4, х5, х6 показывает разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением, т. е. остатки ресурсов. При оптимальном плане производства х3 = х4 = 0, т. е. остатки ресурсов S1 и S2 равны нулю, а остатки ресурсов S3 и S4 равны соответственно 1 и 3 единицы.

271

Мы рассмотрели алгоритм решений задач ЛП симплексметодом. Конечно «вручную» подобные вычисления и анализ уже не проводятся и для этого используются современные компьютерные возможности. В настоящее время существует множество простых для пользователя программных продуктов, реализующих симплекс-метод для компьютерного линейного программирования. Интересующимся рекомендуем наше университетское пособие [Глаголев, Смагин, 2005], где рассмотрена агроэкологическая целевая задача ЛП для экономии затрат на внесение удобрений с решением как графическим, так и симплекс-методом на базе компьютерной среды Matlab.

16.11 Анализ задач линейного программирования

При построении моделей оптимизационных задач исследователю необходимо пройти следующие этапы моделирования:

1.Постановка задачи и обоснование критерия оптималь-

ности. На данном этапе необходимо сформулировать задачу, провести качественный и количественный анализ моделируемого объекта, оценить возможность сбора достоверной информации. Для выбора критерия оптимальности необходимо провести сравнение возможных критериев и выбрать соответствующий задачам эксперимента критерий.

2.Разработка структурной математической модели. На данном этапе производится выбор метода решения поставленной задачи, определяются учитываемые ограничения и участвующие в них переменные, производится унификация символики и подбираются аналоги в постановке задачи.

3.Сбор и обработка информации. Наиболее трудоемкий этап. Необходимо классифицировать и выверить собранную информацию, провести занесение ее в созданные базы данных, сформировать дубликаты баз, провести контрольное суммирование и т. д.

272

4.Построение числовой модели. Запись матрицы задачи в соответствии с принятыми обозначениями и с учетом единиц измерения для конкретной программы расчета на ЭВМ.

5.Решение задачи на ЭВМ. Включает в себя отладку, исправление синтаксических ошибок, контрольные прогоны задачи на известных тестовых примерах, получение исчерпывающей выходной информации на твердых носителях или в электронной форме для чтения на своем компьютере в форме, удобной для представления отчета.

6.Анализ решения. Оценка адекватности полученного решения. Ретроспективные расчеты по модели, сопоставление с имеющимися результатами других исследователей, предыдущими данными, расчетами по другим моделям, экспертными оценками и т. д. Подготовка и редактирование данных для отчета.

7.Корректировка задачи при установлении неадекват-

ности. Установление областей применимости модели, границ параметров по каждому эндогенному параметру и областей применимости модели по экзогенным параметрам.

8.Написание отчета по исследованию модели. Подве-

дение итогов, формулирование выводов и предложений, построение прогнозов развития исследуемого объекта, выявление связей между основным параметрами и результирующим показателем.

16.12 Сущность и цели анализа решения задач ЛП

Впервые анализ оптимального плана поставил как экономическую задачу Л. В. Канторович. Анализ опирается на двойственные оценки оптимального плана, матрицу коэффициентов замещения и границы устойчивости каждой строки и переменной. Различают два уровня анализа для специалистов (сокращенная форма) и для практических работников (полная форма). Сокращенная форма анализа до-

273

пускает понятные только специалистам сокращения и специальную терминологию. Полная форма должна содержать информацию в понятной всем практическим работникам форме.

Цели анализа:

а) дать общую оценку полученному решению, выявить вошедшие и не вошедшие в оптимальный план переменные, выявить экстремальное значение целевой функции;

б) сопоставить полученное решение с рассчитанным традиционными методами решением и определить эффект оптимизации плана;

в) выявить возможности и резервы развития моделируемого объекта в расчетном периоде для подготовки управленческих решений;

г) установить пределы возможностей корректировки оптимального решения и получения новых вариантных решений при изменении первоначальных параметров задачи.

16.13 Пример анализа оптимального решения

Покажем анализ оптимального решения на простом примере. Пусть хозяйство располагает 850 га земли, 15 тыс. т органических удобрений и затрачивает 50 тыс. чел.-дн. Имеются семена картофеля, капусты и многолетних трав.

Необходимо найти оптимальное распределение имеющейся земли с учетом того, что каждый гектар земли под капустой принесет 1000 руб. дохода, картофеля – 800, а многолетних трав – 200 руб.

Затраты труда на возделывание 1 га капусты, картофеля и многолетних трав равны, соответственно, 50, 30 и 15 чел.-дн. Расходы органических удобрений на те же культуры равны 20, 15 и 10 т на 1 га. В процессе решения задачи получим итоговую таблицу 16.10.

274

плана при изменении величины ресурса в столбце. В нашем примере при получении дополнительной тонны удобрений максимально возможный эффект в 40 руб. может быть достигнут только посредством уменьшения площади под картофелем на 0,2 га и соответствующего увеличения ее под капустой. При этом недоиспользованный труд будет уменьшен на 4 чел.-дн.

Существуют пределы корректировок оптимальных планов. Это связано с неотрицательностью большинства переменных в оптимальном плане. Например, при введении 1 га многолетних трав площадь под картофелем уменьшится на 2 га. При введении в севооборот 100 га трав площадь картофеля уменьшится на 200 га. Можно бы предположить, что при введении 300 га трав, площадь соответственно уменьшилась на 600 га, но это невозможно, ибо общая площадь под картофелем всего равна 400 га. Легко подсчитать предел корректировки введения многолетних трав. Эта величина определяется делением общей площади под культурой (400 га) на соответствующий коэффициент (в нашем случае 2) и предельная корректировка равна 200 га.

В последующих разделах мы продолжим анализ оптимизационных задач в экологии в связи с антропогенными воздействиями человека на природу, регуляцией природопользования и экологизации производства.

276

ГЛАВА 17. ЭЛЕМЕНТЫ ЭКОЛОГИСТИКИ

17.1. Проблема экологии транспорта

Автотранспорт является одним из крупнейших загрязнителей атмосферного воздуха. Для решения проблемы загрязнения окружающей среды, связанной с выбросами от транспортных средств, разработан комплекс компьютерных программ. Они используется как для оценки воздействия на качество атмосферного воздуха различных действующих объектов транспортной инфраструктуры, так и для моделирования изменения концентраций основных загрязнителей при проведении комплексов различных мероприятий (градостроительных, по организации и регулированию дорожного движения, по улучшению организации перевозок, контролю выбросов транспортных средств и др.).

Одна из классических задач линейного программирования, которая была специально создана для управления транспортными перевозками, так и называется транспортная зада-

ча.

Цель транспортной задачи – разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чрезмерно дальних, встречных, повторных перевозок. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий, фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и в результате является одним из способов решения проблемы загрязнения окружающей среды.

17.2 Общая постановка задачи

В общем виде задачу можно представить следующим образом: в m пунктах производства А1, А2, … , Аm имеется однородный груз в количестве соответственно a1, а2, …аm.

Этот груз необходимо доставить в n пунктов назначения В1, В2,…Вn в количестве соответственно b1, b2,…,bn.

277

Стоимость перевозки единицы груза (тариф) из пункта Аi

в пункт Вj равна сij.

Требуется составить план перевозок, позволяющий вывезти все грузы и имеющий минимальную стоимость.

В зависимости от соотношения между суммарными запасами груза и суммарными потребностями в нем транспортные задачи могут быть закрытыми и открытыми.

Обозначим через хij количество груза, перевозимого из пункта Ai в пункт Bj. Рассмотрим закрытую транспортную задачу. Ее условия запишем в распределительную таблицу, которую будем использовать для нахождения решения (таблица

17.1.).

Таблица 17.1– Распределительная таблица

Математическая модель закрытой транспортной задачи имеет вид:

при ограничениях:

278

ляются в незанятые клетки с наименьшими тарифами с учетом оставшихся запасов у поставщиков и удовлетворения спроса потребителей. Процесс распределения продолжают до тех пор, пока все грузы от поставщиков не будут вывезены, а потребители не будут удовлетворены. При распределении грузов может оказаться, что количество занятых клеток меньше, чем m + n – 1. В этом случае недостающее их число заполняется клетками с нулевыми поставками, такие клетки называют условно занятыми.

Нулевые поставки помещают в незанятые клетки с учетом наименьшего тарифа таким образом, чтобы в каждых строке и столбце было не менее чем по одной занятой клетке.

Рассмотрим нахождение исходного опорного решения транспортной задачи на конкретном примере.

17.4Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю

На складах A1, A2, A3 имеются запасы продукции в количествах 90, 400, 110 т соответственно. Потребители В1, B2, B3 должны получить эту продукцию в количествах 140, 300, 160 т соответственно. Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной. Расходы по перевозке 1 т продукции заданы матрицей (усл. ед.).

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

280