belyuchenko_i_s_smagin_a_v_i_dr_analiz_dannykh_i_matematiche

Для численного решения задается пространственновременная сетка в виде соответствующих массивов с набором узлов по мере возрастания значений координат x и t.

Функция-оператор pdepe в среде Matlab для численного интегрирования уравнений в частных производных имеет следующий вид:

Она решает (методом прямых) систему уравнений (13.6) с краевыми условиями вида (13.8) и начальными условиями (13.7), причем для интегрирования задачи по времени в функции pdepe используются решатели задачи Коши (ode15s и др., см 13.2). Входные параметры:

m определяет систему координат (при m = 0 решение строится в декартовой системе координат, при m = 1 – в полярной системе, при m = 2 – в сферической);

@pde, @ic, @bc – функции, задающие вид уравнений, начальные и краевые условия;

ххсодержит узлы сетки (не менее трех) по координате x

впорядке возрастания х;

tt определяет набор временных слоев (не менее трех), в которых запоминаются решения.

Необязательные входные параметры:

opt – некоторые параметры решателя задачи Коши, существенные для эффективной работы pdepe (RelTol, AbsTol,

NormControl, InitialStep и MaxStep); их можно изменить при помощи команды odeset. 3) Параметры решателя задачи Коши, заданные в Matlab по умолчанию, в большинстве случаев достаточны для успешного решения задач.

р1, р2, … – произвольные параметры, передаваемые в подпрограммы функции pdepe.

201

Выходной параметр:

SOL – трехмерный массив в который выводится решение, причем первый индекс (i) отвечает временному слою ti, второй индекс (j) определяет номер узла хj, а третий индекс дает номер компоненты вектора решения, таким образом элемент SOL(i,j,k) дает значение решения uk(xj,ti).

Для подготовки начально-краевой задачи (модели) к численному решению с помощью оператора SOL в Matlab необходимо записать в рабочем файле несколько функций. Рассмотрим их по отдельности.

Функция, в которой пользователь задает уравнения модели:

Входные параметры:

х, t – значения координат х, t;

u – вектор значений u(x,t) в точке с координатами (х, t); DuDx – вектор значений du/dx в точке с координатами х, t; р1, р2, … – произвольные параметры, получаемые из

pdepe.

Выходные параметры: диагональная матрица c, векторы f, s, из (13.6).

Функция вычисления начальных условий:

Входные параметры:

х – значение координаты х;

u – вектор значений u в точке с координатами (х, to);

р1, р2, … – произвольные параметры, получаемые из pdepe.

Выходные параметры: вектор значений u на начальном временном слое t = to.

202

Функция обработки краевых условий

Входные параметры:

a, b – координаты концов интервала изменения х;

ua, ub – векторы значений u на концах интервала [а, b]; t – значение координаты t;

р1, р2, … – произвольные параметры, получаемые из pdepe.

Выходные параметры:

pa, pb – значения вектора р из (13.8) на концах интервала

[а, b];

qa, qb – значения вектора q из (13.8) на концах интервала

[а, b].

Пример. Распределенная модель природной и антропогенной динамики черноземов. В работах [Смагин, 2009, 2012] предложена модель органопрофиля черноземов разных типов, позволяющая реконструировать динамику их формирования в природных степных условиях и агродеградации при вовлечении в сельскохозяйственное производство. Модель представлена дифференциальным уравнением в частных производных, сочетающим конвективнодисперсионный транспорт органического вещества почвы (гумуса) с нелинейной функцией «источник/сток» в виде корневого опада и биодеструкции гумуса:

Здесь переменная С – объемная концентрация органического углерода в почве, которую легко рассчитать по дан-

203

ным о процентном содержании гумуса (Х %), плотности почвы ( b) и коэффициенте перевода гумуса в углерод (1,73):

C[кг/м3] = 10Х %ρb/1,73.

Первый член в правой части уравнения описывает диффузию (дисперсию) органического вещества, второй – конвективный транспорт в составе водных растворов, третий – биодеструкцию, а четвертый – поступление из ризосферы. Величины эффективного коэффициента диффузии (дисперсии) D [м2/год], интенсивности конвективного массопереноса q [м/год], константы разложения гумуса k [год-1], крутизны распределения корней в профиле почвы b [м-1] и максимальной интенсивности гумификации корневого опада R кг/м3 год-1] принимаются постоянными. Для их нахождения разработана оригинальная методика обратной задачи, использующая данные о стационарном профильном распределении органического углерода в черноземах и его общего поступления из поверхностного и корневого источника.

Модель снабжается граничными условиями в виде потока свежих гумусовых веществ на поверхности почвы (гумифицированный углерод опада) L [кг/м2/год] и постоянной (С0) (или нулевой (С0 = 0) концентрации органического углерода на значительном удалении от поверхности.

Для реализации численных экспериментов с моделью (13.13) в компьютерной среде Matlab 7 был создан рабочий файл под названием pde_demo1.m. Ниже приводится его структура с комментариями, отделенными знаком %.

204

ке 0–2 м

t= [0 5 10 50 100 200 500 1000 2000 3000]; % времена вывода ин-

формации по динамике органопрофиля в годах

sol = pdepe(m,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t); % обращение к встроенному оператору «pdepe» для численного решения дифференциальных уравнений в среде Matlab

u= sol(:,:,1); % искомое решение в виде функции от x,t.

figure % графическое изображение решения plot(x,u(1,:),x,u(2,:),x,u(3,:),x,u(4,:),x,u(5,:),x,u(6,:), x,u(7,:),x,u(8,:), x,u(9,:), x,u(10,:), x,u(end,:) xlabel('x, м') % название оси абсцисс

ylabel('u, кг/м3') % название оси ординат

function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx) % функция потоков c = 1; % коэффициент для системы из одного уравнения

f = 0.000015*DuDx-0.0002*u; % задан поток со значением коэф-

фициента диффузии 0.000015 [м2/год] и скорости конвективного транспорта 0.0002 [м/год]

s = 0.07*exp(-4.2*x)-0.0008*u; % функция источника/стока (поступ-

ления из корней и биодеструкции) [кг/м3 год-1]

function u0 = pdex1ic(x) % функция начальных условий u0 = 0; % изначально гумуса в почве не было

function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t) % функция граничных условий

pl = 0.006; % поток гумифицированных веществ из опада в почву, [кг/м2 год-1]

ql = 1; % условие на верхней границе записывается в виде поттока с постоянным значением pl+ql*f(x,t,u,Du/Dx) = 0

pr = ur; % концентрация на нижней границе = 1 [кг/м3]

qr = 0; % условие на нижней границе записывается в виде постоянства концентрации и отсутствия потоков

pr+qr*f(x,t,u,Du/Dx) = 0.

Для проведения вычислений достаточно скопировать этот текст в редактор программ Editor и сохранить с расширением m-файл. Обращение к нему из командного окна (Command Window) среды Matlab 7 посредством набора названия pde_demo1.m и запуска вычислений клавишей Enter

205

Как видно на формирование органопрофиля, свойственного целинным черноземам обыкновенным с проникновением гумуса до глубины 1,5 и более метров, требуется не менее 2–3 тысяч лет! Лишь по прошествии этого срока гумусовый профиль выходит на равновесное (стационарное) состояние, присущее современным целинным черноземам, в котором процессы поступления, перераспределения и де-

206

Рисунок 13.4 Компьютерное моделирование антропогенной деградации чернозема обыкновенного

Распашка черноземов и вовлечение их в сельскохозяйственное производство сопровождается 3–4 кратным снижением поступления органического вещества из фитоценоза в почву по причине отчуждения человеком сельскохозяйственной продукции (урожая), пониженной продуктивности агроценозов по сравнению с целинной степной растительностью и ряда других причин. В результате чернозем начинает терять гумус – основной материальный носитель плодоро-

207

дия этой эталонной во всех отношениях исходно высокопродуктивной почвы.

Внеся соответствующие изменения в параметры модели (13.3) в виде уменьшения поступления органического вещества и задавая в качестве начального распределения углерода среднестатистический стационарный органопрофиль, свойственный целинным черноземам обыкновенным, рассчитаем динамику этих почв при вовлечении в сельскохозяйственное производство (рисунок 13.4). Из рисунка видно, что на первых этапах агродеградация затрагивает верхние слои почвы и по прошествии 100–200 лет эксплуатации черноземы теряют в них до 30 % исходного количества гумуса и более. Результаты моделирования здесь хорошо соответствуют реальным данным в виде среднестатистического профильного распределения гумуса в пахотных черноземах обыкновенных (треугольные символы на рисунке 13.4). Однако наивно полагать, как это делают многие современные агропочвоведы, что на этом потери органического вещества заканчиваются, поскольку, якобы «срабатывается» лишь «лабильный гумус», а оставшийся «стабильный» будет существовать неограниченно долго. Как показывает модель, процесс агродеградации будет продолжаться и захватывать все более глубокие слои почвы, пока не наступит новое равновесие (стационарное состояние) с уменьшенными в 3–4 раза потоками поступающего из фитоценоза углерода растительных остатков. Только можно ли считать такую почву черноземом, если концентрация органического углерода в корнеобитаемой толще уменьшиться с 40 до 10 кгС/м3, а общие запасы в 2 м профиле (интеграл функции С(z)) от 490 т/га гумуса) до 170 т/га?

Постепенно, но неуклонно теряется главное национальное богатство, наиважнейший ресурс, от которого напрямую зависит продовольственная безопасность страны, здоровье и благосостояние ее населения. И остановить эти потери воз-

208

можно только при переходе на альтернативные системы земледелия, в которых наряду с получением высоких урожаев должны быть заложены цель и механизмы воспроизводства почвенного ресурса, его гумусного и структурного состояния.

Мы завершили краткое рассмотрение возможностей компьютерной среды Matlab для численного моделирования задач экологии и иных естественнонаучных дисциплин, связанных с пространственно-временной динамикой и организацией биологических и биокосных систем. В подобных моделях предполагается непрерывное (континуальное) описание переменных состояния во времени, хотя по пространству здесь могут быть существенно неоднородные условия, как например в слоистых почвах и почвенных конструкциях [Смагин, 2012]. Однако и во времени для реальных природных систем часто возникают эффекты запаздывания, зависимости от предшествующих этапов (стадий, фаз) развития. Поэтому в следующей главе мы обратимся к проблеме дискретного описания динамики во времени.

209

ГЛАВА 14. МОДЕЛЬ РОСТА ПОПУЛЯЦИИ ЛЕСЛИ

14.1 Технология построения матрицы Лесли

Модель Лесли лежит в основе формализации закона Лотки о стабильности возрастной структуры (Leslie, 1945; Розенберг, 1984; Миркин и др., 1989) и описывает динамику численности или плотности популяции с учетом возрастной структуры. В простейшем случае – это аналог модели Мальтуса. Математическим аппаратом для этой модели является матричная алгебра.

Предположения для построения модели: ресурсы питания не ограничены; размножение происходит в определенные моменты времени, t1, t2,..., tn; популяция содержит n возрастных групп. Тогда в каждый фиксированный момент времени (например, t0 ) популяцию можно охарактеризовать вектор-столбцом:

xn (t0 )

Вектор X(t1), характеризующий популяцию в следующий момент времени, например, через год, связан с вектором X(t0) через матрицу перехода L:

Установим вид этой матрицы. Из всех возрастных групп выделим те, которые производят потомство. Пусть их номера будут k, k+1 ,..., k+p. Предположим, что за единичный промежуток времени особи i-й группы переходят в группу i+1, от групп k, k+1,..., k+p появляется потомство, а часть

210