belyuchenko_i_s_smagin_a_v_i_dr_analiz_dannykh_i_matematiche

Обозначим через х1 среднее арифметическое из содержания анализируемого вещества на почве первой категории, через х2 – среднее содержание на почве второй категории и

т. д.

Общее среднее арифметическое всех nm измерений обозначим:

Здесь суммирование по k при постоянном i дает сумму по всем наблюдениям i-ой серии (т. е. по почве i-й категории). Дальнейшее суммирование по i дает итог по всем категориям почвы.

Математически можно доказать следующее тождество:

Таким образом, общая сумма квадратов распадается на две составные части, первая из которых связана с оценкой дисперсии между категориями почвы, а вторая – с оценкой дисперсии внутри всех категорий почвы. Компактно процедуру однофакторного дисперсионного анализа можно записать в виде таблицы (таблица 8.2).

Сравнивая дисперсию содержания изучаемого вещества между категориями почвы с содержанием вещества «внутри» категорий почвы, по величине их отношения судят, насколько рельефно проявляется влияние такого фактора, как качество почвы (т. е. удаленность от источника загрязне-

91

ния). В этом сравнении, как раз и заключается основная идея дисперсионного анализа.

Таблица 8.2 – Схема однофакторного дисперсионного анализа

Проверку нулевой гипотезы о том, что нормальные распределения всех величин X1, X2, X3,…, Xn (урожайности) тождественны, т. е. все mхn наблюдений можно рассматривать как выборку из одной и той же нормальной совокупности, производят с помощью F – критерия. Для этого находят отношение

где S12 – дисперсия между группами;

S22 – дисперсия внутри групп.

F-критическое определяют по таблице распределения Фишера для принятого уровня значимости и чисел степеней свободы k1 (для большей дисперсии) и k2 (для меньшей дисперсии):

Если Fнабл. > Fкрит. нулевая гипотеза отклоняется, и следует считать, что среди средних значений имеются хотя бы

два не равных друг другу.

92

8.2 Проведение дисперсионного анализа

спомощью электронных таблиц EXCEL

ВMS EXCEL для проведения однофакторного дисперсионного анализа используется процедура Однофакторный дисперсионный анализ (рисунок 8.1).

Для ее реализации необходимо:

1) ввести данные в таблицу, так чтобы в каждой строке (или столбце) оказались данные, соответствующие одному значению исследуемого фактора, а строки (столбцы) располагались в порядке возрастания (убывания) величины исследуемого фактора;

2) выполнить команду Сервис > Анализ данных (если пакет не установлен – установить из меню Надстройки;

3) в появившемся диалоговом окне Анализ данных в списке Инструменты анализа выбрать процедуру Однофак-

торный дисперсионный анализ, затем нажать кнопку ОК; 4) в появившемся диалоговом окне задать Входной ин-

тервал, то есть ввести ссылку на диапазон анализируемых данных, содержащий все столбцы данных.

5) в разделе Группировка переключатель установить в положение по строкам (по столбцам);

6) указать выходной интервал, то есть ввести ссылку на ячейку, с которой будут показаны результаты анализа. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные. Нажать кнопку ОК.

Выходной диапазон будет включать в себя результаты дисперсионного анализа: средние, дисперсии, критерий Фишера и другие показатели. Влияние исследуемого фактора определяется по величине значимости критерия Фишера, которая находится в таблице Дисперсионный анализ на пересечении строки «Между группами» и столбца «Р-значение». В случаях, когда Р-значение <0,05, критерий

93

Фишера значим, и влияние исследуемого фактора можно считать доказанным.

Пример. Рассмотрим данные пятикратного (n = 5) измерения валового содержания свинца в почвах на трех (m = 3) участках, удаленных на разном расстоянии от источника загрязнения. Требуется проверить, влияет ли удаленность участка от источника загрязнения на содержание свинца в почве.

Таблица 8.3 – Результаты измерения валового содержания свинца в почвах

Реализовав дисперсионный анализ на компьютере (Рисунок 8.1), используя группировку по строкам и задавая исходный 5 % уровень значимости ( = 0,05) изложенную выше, получим выходную таблицу (таблица 8.4).

Рисунок 8.1 – Дисперсионный анализ примера в EXCEL

94

Таблица 8.4 – Выходные данные однофакторного дисперсионного анализа

Произведем проверку нулевой гипотезы с помощью F-критерия:

При двух степенях свободы большей дисперсии (k1 = 2) и двенадцати степенях свободы меньшей дисперсии (k2 = 12) по таблице критерия Фишера находим критические границы для F, равные при 5 % уровне значимости 3,89 и

1 % -м уровне – 6,93.

Полученное нами из наблюдений Fнабл. превышает указанные границы, и поэтому нулевая гипотеза должна быть отвергнута, т. е. содержание валового свинца на рассматриваемых категориях почвы не одинаково, а это значит, удаленность от источника загрязнения влияет на его содержание.

95

Глава 9. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ

9.1Примеры динамических рядов и их характерные особенности

Вокружающей нас природе имеется огромное количество явлений и объектов, изменяющихся во времени и (или)

впространстве. Любой набор данных, состоящий из упорядоченных по этим координатам измерений, может рассматриваться как динамический ряд. Числовые данные, характеризующие процессы, находящиеся в постоянном изменении и движении, образуют ряды динамики. Чаще всего под динамическими рядами понимается хронологические (или временные) последовательности, хотя в принципе выражение «динамика» охватывает не только изменение во времени, но и любое другое изменение состояния под влиянием внешних условий (например, в пространстве).

Вкачестве примеров можно указать на ежечасные или ежесуточные изменения температуры окружающей среды, ежемесячное число рождений в колонии лабораторных животных, выход во времени продуктов некоторой химической реакции, изменения длины крыла у некоторых видов птиц для последовательных значений географической среды обитания. В каждом из этих случаев определяется последовательность чисел, связанная с временным или пространственным параметром. Приведенные примеры представляют собой образцы дискретных рядов, т. е. измерения при их формировании выполняются в определенные моменты времени или в фиксированных точках пространства. Существуют и непрерывные динамические ряды. Например, кривая, зарегистрированная при спектрофотометрировании снимка участка лесной растительности, полученного с помощью аэрофотосъемки, или запись электрической активности мозга.

96

При анализе динамических рядов необходимо учитывать, что существенная информация заложена не только в численных значениях измеряемых признаков, но и в порядке их следования.

9.2 Сущность анализа динамических рядов

Большую роль при обработке динамических рядов играет визуальный анализ. Конечно, выводы, полученные при визуальном анализе, являются предварительными и не имеют количественного характера. Но они позволяют оценить в общих чертах характерные особенности изучаемого динамического ряда и выбрать наиболее подходящие методы строгого количественного анализа.

На рисунке 9.1 представлен график изменения длины крыла жаворонка по мере увеличения географической широты местообитания. Здесь видно, что существует определенная тенденция к увеличению длины крыла по мере продвижения к северным границам ареала. Однако эта направленность маскируется нерегулярными циклическими колебаниями.

Рисунок 9.1 – Изменение длины крыла жаворонка

Систематическая составляющая и случайный шум. Как и большинство других видов анализа, анализ временных ря-

97

дов предполагает, что данные содержат систематическую составляющую (обычно включающую несколько компонент) и случайный шум (ошибку), который затрудняет обнаружение регулярных компонент.

Большинство методов исследования временных рядов включает различные способы фильтрации шума, позволяющие увидеть регулярную составляющую более отчетливо.

Два общих типа компонент временных рядов. Большинство регулярных составляющих временных рядов принадлежит к двум классам: они являются либо трендом, либо сезонной составляющей. Тренд представляет собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может изменяться во времени. Сезонная составляющая – это периодически повторяющаяся компонента – колебательные изменения, связанные с воздействием на систему внешнего механизма, отражающего строго периодические процессы в природе, такие, например, как времена года, изменения температуры в течение дня и т. д.

Оба эти вида регулярных компонент часто присутствуют в ряде одновременно. Например, продуктивность экосистемы может возрастать из года в год, но она меняется в зависимости от времени года.

9.3 Анализ и прогнозирование тренда

Существуют две основные цели анализа временных ря-

дов:

1)определение природы ряда;

2)прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям).

Обе эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и, более или менее, формально описана. Как только модель определена, вы можете с ее помощью интерпретировать рассматриваемые данные (например, использовать в вашей теории для понимания сезонного изменения

98

численности популяции). Не обращая внимания на глубину понимания и справедливость теории, вы можете экстраполировать затем ряд на основе найденной модели, т. е. предсказать его будущие значения.

Прежде всего, следует отметить, что введенное понятие тренда (направленности) довольно относительно, так как то, что с одной точки зрения, т. е. в рамках одного масштаба, является длительным, с другой таковым не является. Например, если характер изменения биоэлектрической активности мозга животных или человека исследуется для интервалов времени, равных нескольким десяткам секунд, то медленные изменения, вызванные минутными ритмами, могут рассматриваться как тренд. Но если мы располагаем данными регистрации этой же активности в течение суток, то окажется, что то, что воспринималось как тренд, на самом деле оказывается лишь частью некоторого медленного колебательного процесса. Поэтому если интервал регистрации в несколько десятков секунд относился, например, к процессу решения какой-то задачи, делать вывод о том, что амплитуда электроэнцефалограммы нарастает или падает в зависимости от того, будет ли тренд иметь положительный или отрицательный наклон, неправомерно. Об этой относительности понятия тренда следует помнить всегда, когда дается содержательная интерпретация получаемым результатам. Существуют различные виды направленности, такие, например, как тренд среднего, тренд дисперсии и т. д. Мы будем рассматривать, как наиболее часто встречающийся, тренд среднего.

Как правило, имея графическое представление динамического ряда, визуально можно определить, имеет ли место тренд среднего. Однако в некоторых случаях сделать это, не имея соответствующих навыков, довольно сложно. С другой стороны, непрерывно увеличивается число исследований и наблюдений, когда экспериментальные данные непосредственно вводятся в вычислительную машину, поэтому первым

99

этапом анализа динамических рядов является проверка гипотезы о случайности получаемых значений. Покажем, как можно использовать для этой цели ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

Данные таблицы 9.1 соответствуют рисунку 9.1. Ранги для широты (R1) представляют собой натуральный ряд чисел, отражающий естественную последовательность пунктов наблюдения. Ранжирование данных о длине крыла (R2) проведено по обычным правилам в порядке возрастания ранга (ранг 1 – самое длинное крыло (116 мм), ранг 37 – самое короткое (84 мм)).

Таблица 9.1 – Изменение длины крыла жаворонка в зависимости от географической широты его местообитания

Используя формулу коэффициента корреляции Спирмена, имеем:

100